Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1257
2018-12-01 
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CN$, которые пересекаются в точке $H$, лежащей внутри треугольника. Может ли угол $AHC$ оказаться острым?
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник, $AP$ и $CN$ - его высоты (см. рис.). Так как $\angle AHC$ - внешний для треугольника $CHP$, то $\angle AHC > \angle HPC = 90^{ \circ}$. Следовательно, $\angle AHC$ - тупой.
Заметим, что если не потребовать, чтобы точка пересечения высот лежала внутри треугольника, то ответ будет положительным. Действительно, точка $B$ является точкой пересечения высот $AN$ и $CP$ треугольника $AHC$. В четырехугольнике $BPHN$ углы $BPH$ и $BNH$ - прямые, угол $NHP$ - тупой. Так как сумма углов четырехугольника равна $360^{ \circ}$, то $\angle ABC$ - острый.
Ответ: нет, не может.
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CN$, которые пересекаются в точке $H$, лежащей внутри треугольника. Может ли угол $AHC$ оказаться острым?
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник, $AP$ и $CN$ - его высоты (см. рис.). Так как $\angle AHC$ - внешний для треугольника $CHP$, то $\angle AHC > \angle HPC = 90^{ \circ}$. Следовательно, $\angle AHC$ - тупой.
Заметим, что если не потребовать, чтобы точка пересечения высот лежала внутри треугольника, то ответ будет положительным. Действительно, точка $B$ является точкой пересечения высот $AN$ и $CP$ треугольника $AHC$. В четырехугольнике $BPHN$ углы $BPH$ и $BNH$ - прямые, угол $NHP$ - тупой. Так как сумма углов четырехугольника равна $360^{ \circ}$, то $\angle ABC$ - острый.
Ответ: нет, не может.
