Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1254
2018-12-01 
В треугольнике $ABC: \angle B = 20^{ \circ}, \angle C = 40^{ \circ}$, длина биссектрисы $AM$ равна 2 см. Найдите разность сторон: $BC - AB$.
Решение:
Рассмотрим данный треугольник $ABC$ (см. рис.). Так как $\angle BAC = 180^{ \circ} - (20^{ \circ} + 40^{ \circ}) = 120^{ \circ}$, то $\angle BAM = \angle CAM = 60^{ \circ}$. На стороне $BC$ отметим точку $D$ такую, что $BD = AB$, тогда $CD = BC - BD = BC - AB$. В равнобедренном треугольнике $BAD \angle BAD = \angle BDA = (180^{ \circ} - 20^{ \circ}) : 2 = 80^{ \circ}; \angle AMC$ - внешний для треугольника $BAM$, поэтому $\angle AMC = 20^{ \circ} + 60^{ \circ} = 80^{ \circ}$. Так как $\angle BDA = \angle AMC$, то $\Delta MAD$ - равнобедренный с основанием $MD$. $\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 120^{ \circ} - 80^{ \circ} = 40^{ \circ}$, то есть $\angle CAD = \angle DCA$, значит $\Delta CAD$ - равнобедренный с основанием $AC$. Поэтому $CD = AD = AM = 2$ (см).
Ответ: 2 см.
В треугольнике $ABC: \angle B = 20^{ \circ}, \angle C = 40^{ \circ}$, длина биссектрисы $AM$ равна 2 см. Найдите разность сторон: $BC - AB$.
Решение:
Рассмотрим данный треугольник $ABC$ (см. рис.). Так как $\angle BAC = 180^{ \circ} - (20^{ \circ} + 40^{ \circ}) = 120^{ \circ}$, то $\angle BAM = \angle CAM = 60^{ \circ}$. На стороне $BC$ отметим точку $D$ такую, что $BD = AB$, тогда $CD = BC - BD = BC - AB$. В равнобедренном треугольнике $BAD \angle BAD = \angle BDA = (180^{ \circ} - 20^{ \circ}) : 2 = 80^{ \circ}; \angle AMC$ - внешний для треугольника $BAM$, поэтому $\angle AMC = 20^{ \circ} + 60^{ \circ} = 80^{ \circ}$. Так как $\angle BDA = \angle AMC$, то $\Delta MAD$ - равнобедренный с основанием $MD$. $\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 120^{ \circ} - 80^{ \circ} = 40^{ \circ}$, то есть $\angle CAD = \angle DCA$, значит $\Delta CAD$ - равнобедренный с основанием $AC$. Поэтому $CD = AD = AM = 2$ (см).
Ответ: 2 см.
