Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12418
2023-04-05 
В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB=13$, $PB=15$, $\cos\angle PBA=\frac{48}{65}$. Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$. Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды $PABC$.
Решение:
а) Поскольку $PC$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, сторона $AC$ основания пирамиды - ортогональная проекция наклонной $PA$ на эту плоскость, а т.к. $PA\perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $AC\perp BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.
б) По теореме косинусов
$AP^{2}=PB^{2}+AB^{2}-2PB\cdot AB\cos\angle PBA=225+169-2\cdot15\cdot13\cdot\frac{48}{65}=106.$
Пусть $PH$ - высота треугольника $APB$. Из прямоугольного треугольника $PHB$ находим, что
$BH=PB\cos\angle PBA=15\cdot\frac{48}{65}=\frac{144}{13}.$
По теореме о трёх перпендикулярах $CH$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
$BC=\sqrt{BH\cdot AB}=\sqrt{\frac{144}{13}\cdot13}=12$
(см. задачу 6185).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$ находим, что $AC=5$. Тогда
$PC=\sqrt{AP^{2}-AC^{2}}=\sqrt{106-25}=\sqrt{81}=9.$
Следовательно,
$V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot PC=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot PC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot9=90.$
В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB=13$, $PB=15$, $\cos\angle PBA=\frac{48}{65}$. Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$. Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды $PABC$.
Решение:
а) Поскольку $PC$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, сторона $AC$ основания пирамиды - ортогональная проекция наклонной $PA$ на эту плоскость, а т.к. $PA\perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $AC\perp BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.
б) По теореме косинусов
$AP^{2}=PB^{2}+AB^{2}-2PB\cdot AB\cos\angle PBA=225+169-2\cdot15\cdot13\cdot\frac{48}{65}=106.$
Пусть $PH$ - высота треугольника $APB$. Из прямоугольного треугольника $PHB$ находим, что
$BH=PB\cos\angle PBA=15\cdot\frac{48}{65}=\frac{144}{13}.$
По теореме о трёх перпендикулярах $CH$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
$BC=\sqrt{BH\cdot AB}=\sqrt{\frac{144}{13}\cdot13}=12$
(см. задачу 6185).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$ находим, что $AC=5$. Тогда
$PC=\sqrt{AP^{2}-AC^{2}}=\sqrt{106-25}=\sqrt{81}=9.$
Следовательно,
$V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot PC=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot PC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot9=90.$
