Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1240
2018-11-18 
Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
Решение:
Пусть $a, b$ и $c$ - три цифры, задуманные Васей. Существует девять двузначных чисел, в десятичной записи которых используются только эти цифры: $\overline{aa}; \overline{bb}; \overline{cc}; \overline{ab}; \overline{ba}; \overline{ac}; \overline{ca}; \overline{bc}; \overline{cb}$. Найдем их сумму, разложив каждое из чисел в виде суммы разрядных слагаемых: $(10a + a) + (10b + b) + (10c + c) + (10a + b) + (10b + a) + (10a + c) + (10c + a) + (10b + c) + (10c + b) = 33a + 33b + 33c = 33(a + b + c)$. По условию, $33(a + b + c) = 231$, то есть, $a + b + c = 7$. Существует единственная тройка различных и отличных от нуля цифр, сумма которых равна 7.
Ответ: Вася задумал цифры 1, 2 и 4.
Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
Решение:
Пусть $a, b$ и $c$ - три цифры, задуманные Васей. Существует девять двузначных чисел, в десятичной записи которых используются только эти цифры: $\overline{aa}; \overline{bb}; \overline{cc}; \overline{ab}; \overline{ba}; \overline{ac}; \overline{ca}; \overline{bc}; \overline{cb}$. Найдем их сумму, разложив каждое из чисел в виде суммы разрядных слагаемых: $(10a + a) + (10b + b) + (10c + c) + (10a + b) + (10b + a) + (10a + c) + (10c + a) + (10b + c) + (10c + b) = 33a + 33b + 33c = 33(a + b + c)$. По условию, $33(a + b + c) = 231$, то есть, $a + b + c = 7$. Существует единственная тройка различных и отличных от нуля цифр, сумма которых равна 7.
Ответ: Вася задумал цифры 1, 2 и 4.
