Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1239
2018-11-18 
В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Решение:
Рассмотрим сумму всех чисел: $1+2+ \cdots + 63 + 64 = (1+64) \cdot 32 = 65 \cdot 32$.
Для того, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы эта сумма была кратна трем, но это невозможно, так как ни 65, ни 32 не делится на 3.
Одна из команд предложила иной вариант решения: рассмотрим все остатки при делении данных чисел на 3. Двадцать одно из этих чисел кратно трем; еще двадцать одно число при делении на 3 дает остаток 2, а остаток 1 при делении на 3 имеют двадцать два числа. Следовательно, указанная сумма не может быть кратна трем.
Ответ: нет, не может.
В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Решение:
Рассмотрим сумму всех чисел: $1+2+ \cdots + 63 + 64 = (1+64) \cdot 32 = 65 \cdot 32$.
Для того, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы эта сумма была кратна трем, но это невозможно, так как ни 65, ни 32 не делится на 3.
Одна из команд предложила иной вариант решения: рассмотрим все остатки при делении данных чисел на 3. Двадцать одно из этих чисел кратно трем; еще двадцать одно число при делении на 3 дает остаток 2, а остаток 1 при делении на 3 имеют двадцать два числа. Следовательно, указанная сумма не может быть кратна трем.
Ответ: нет, не может.
