Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12363
2023-04-05 
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Все рёбра пирамиды равны, $M$ - середина бокового ребра $SD$. Найдите угол между прямыми $SA$ и $CM$.
Решение:
Пусть $K$ - середина ребра $AD$. Тогда $MK\parallel SA$ (средняя линия треугольника $ASD$). Значит, угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $CM$ равен углу между пересекающимися прямыми $MK$ и $CM$.
Пусть все рёбра данной пирамиды равны 2. Тогда
$MK=\frac{1}{2}SA=1,~CM=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$
$CK^{2}=CD^{2}+DK^{2}=4+1=5.$
Следовательно, по теореме косинусов
$\cos\angle CMK=\frac{MK^{2}+CM^{2}-CK^{2}}{2MK\cdot CM}=\frac{1+3-5}{2\cdot1\cdot\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6},$
а т.к. угол между прямыми не может быть тупым, то искомый угол равен $\arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Все рёбра пирамиды равны, $M$ - середина бокового ребра $SD$. Найдите угол между прямыми $SA$ и $CM$.
Решение:
Пусть $K$ - середина ребра $AD$. Тогда $MK\parallel SA$ (средняя линия треугольника $ASD$). Значит, угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $CM$ равен углу между пересекающимися прямыми $MK$ и $CM$.
Пусть все рёбра данной пирамиды равны 2. Тогда
$MK=\frac{1}{2}SA=1,~CM=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$
$CK^{2}=CD^{2}+DK^{2}=4+1=5.$
Следовательно, по теореме косинусов
$\cos\angle CMK=\frac{MK^{2}+CM^{2}-CK^{2}}{2MK\cdot CM}=\frac{1+3-5}{2\cdot1\cdot\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6},$
а т.к. угол между прямыми не может быть тупым, то искомый угол равен $\arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$.
