Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1232
2018-11-18 
Докажите, что если число $b$ является средним арифметическим чисел $a$ и $c$, причем $a > c$, то выражение $ab + bc - ac - b^{2}$ принимает только положительные значения.
Решение:
Первый способ. Так как $b = \frac{a + c}{2}$ и $a > c$, то $a > b > c$. Тогда,
$ab + bc - ac - b^{2} = (ab - ac) + (bc - b^{2}) = a(b - c) - b(b - c) = (a - b)(b - c) > 0$.
Второй способ. Подставим значение $b$ в данное выражение и преобразуем его, используя формулы сокращенного умножения:
$ab + bc - ac - b^{2} = a \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2}c - ac - \left ( \frac{a + c}{2} \right )^{2} =
\frac{(a + c)^{2} }{2} - \frac{(a + c)^{2} }{4} - ac = \frac{(a + c)^{2} }{4} - ac = \frac{(a - c)^{2} }{4} > 0$,
так как $a > c$.
Докажите, что если число $b$ является средним арифметическим чисел $a$ и $c$, причем $a > c$, то выражение $ab + bc - ac - b^{2}$ принимает только положительные значения.
Решение:
Первый способ. Так как $b = \frac{a + c}{2}$ и $a > c$, то $a > b > c$. Тогда,
$ab + bc - ac - b^{2} = (ab - ac) + (bc - b^{2}) = a(b - c) - b(b - c) = (a - b)(b - c) > 0$.
Второй способ. Подставим значение $b$ в данное выражение и преобразуем его, используя формулы сокращенного умножения:
$ab + bc - ac - b^{2} = a \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2}c - ac - \left ( \frac{a + c}{2} \right )^{2} =
\frac{(a + c)^{2} }{2} - \frac{(a + c)^{2} }{4} - ac = \frac{(a + c)^{2} }{4} - ac = \frac{(a - c)^{2} }{4} > 0$,
так как $a > c$.
