Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1230
2018-11-18 
Вместо знаков $*$ вставьте такие числа, чтобы равенство
$(x^{2} + * \cdot x + 2) \cdot (x + 3) = (x + *) \cdot (x^{2} + * \cdot x + 6)$
стало тождеством.
Решение:
Обозначив неизвестные коэффициенты $a, b$ и $c$ соответственно, и приведя к стандартному виду многочлены в левой и правой части, получим:
$(x^{2} + ax + 2)(x + 3) = x^{3} + (a + 3)x^{2} + (3a + 2)x + 6$;
$(x + b)(x^{2} + cx + 6) = x^{3} + (b + c)x^{2} + (bc + 6) + 6b$.
Данное равенство будет являться тождеством тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства: $6b = 6; bc + 6 = 3a + 2; b + c = a + 3$. Решая соответствующую систему уравнений, получим, что $b = 1; a = 3; c = 5$.
Так как по условию задачи не требуется доказывать единственность искомого набора чисел, то возможно также решение методом подбора.
Ответ: $(x^{2} + 3x + 2)(x + 3) = (x + 1)(x^{2} + 5x + 6)$.
Вместо знаков $*$ вставьте такие числа, чтобы равенство
$(x^{2} + * \cdot x + 2) \cdot (x + 3) = (x + *) \cdot (x^{2} + * \cdot x + 6)$
стало тождеством.
Решение:
Обозначив неизвестные коэффициенты $a, b$ и $c$ соответственно, и приведя к стандартному виду многочлены в левой и правой части, получим:
$(x^{2} + ax + 2)(x + 3) = x^{3} + (a + 3)x^{2} + (3a + 2)x + 6$;
$(x + b)(x^{2} + cx + 6) = x^{3} + (b + c)x^{2} + (bc + 6) + 6b$.
Данное равенство будет являться тождеством тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства: $6b = 6; bc + 6 = 3a + 2; b + c = a + 3$. Решая соответствующую систему уравнений, получим, что $b = 1; a = 3; c = 5$.
Так как по условию задачи не требуется доказывать единственность искомого набора чисел, то возможно также решение методом подбора.
Ответ: $(x^{2} + 3x + 2)(x + 3) = (x + 1)(x^{2} + 5x + 6)$.
