Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12275
2023-03-27 
Дан правильный тетраэдр с ребром $a$. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центры трёх его граней.
Решение:
Пусть $M$, $K$ и $N$ - центры граней соответственно $ABC$, $BCD$ и $ABD$ правильного тетраэдра $ABCD$, а $P$ и $Q$ - середины рёбер соответственно $AB$ и $BC$.
Поскольку $DN:NP=DK:KQ=2:1$, прямая $NK$ параллельна $PQ$. Значит, прямая $NK$ параллельна плоскости $ABC$. Секущая плоскость проходит через прямую $NK$, параллельную плоскости $ABC$ и имеет с плоскостью $ABC$ общую точку $M$, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой $l$, параллельной $NK$, а значит, и $PQ$ (см. задачу @H8003). Пусть прямая $l$ пересекает рёбра $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, а $T$ - середина $AC$. Тогда
$BE:AB=BF:BC=BM:BT=2:3.$
Аналогично получим, что секущая плоскость пересекает ребро $BD$ в точке $L$, для которой $BL:BD=2:3$. Значит, сечение тетраэдра плоскостью $MKN$ - треугольник $ELF$, подобный треугольнику $ADC$ с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Следовательно,
$S_{\Delta ELF}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{\Delta ADC}=\frac{4}{9}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}.$
Дан правильный тетраэдр с ребром $a$. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центры трёх его граней.
Решение:
Пусть $M$, $K$ и $N$ - центры граней соответственно $ABC$, $BCD$ и $ABD$ правильного тетраэдра $ABCD$, а $P$ и $Q$ - середины рёбер соответственно $AB$ и $BC$.
Поскольку $DN:NP=DK:KQ=2:1$, прямая $NK$ параллельна $PQ$. Значит, прямая $NK$ параллельна плоскости $ABC$. Секущая плоскость проходит через прямую $NK$, параллельную плоскости $ABC$ и имеет с плоскостью $ABC$ общую точку $M$, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой $l$, параллельной $NK$, а значит, и $PQ$ (см. задачу @H8003). Пусть прямая $l$ пересекает рёбра $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, а $T$ - середина $AC$. Тогда
$BE:AB=BF:BC=BM:BT=2:3.$
Аналогично получим, что секущая плоскость пересекает ребро $BD$ в точке $L$, для которой $BL:BD=2:3$. Значит, сечение тетраэдра плоскостью $MKN$ - треугольник $ELF$, подобный треугольнику $ADC$ с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Следовательно,
$S_{\Delta ELF}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{\Delta ADC}=\frac{4}{9}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}.$
