Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1224
2018-11-18 
Треугольник $ABC$ - равносторонний. Лучи $AD, BE$ и $CM$ попарно пересекаются внутри треугольника, причем $\angle BAD = \angle CBE = \angle ACM$ (см. рисунок). Являются ли точки $D, E$ и $M$ вершинами равностороннего треугольника? Ответ обоснуйте.
Решение:
Рассмотрим треугольники $ADB, BEC$ и $CMA$ (см. рис.). Имеем: $AB = BC = CA; \angle BAD = \angle CBE = \angle ACM$ (по условию); $\angle ABD = \angle BCE = \angle CAM$, так как эти углы дополняют равные углы до $60^{ \circ}$. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = BE = CM$ и $BD = CE = AM$. Так как $MD = AD - AM, DE = BE - DB, ME = CM - CE$, то $MD = DE = ME$, то есть треугольник $MDE$ - равносторонний.
Ответ: да, является.
Треугольник $ABC$ - равносторонний. Лучи $AD, BE$ и $CM$ попарно пересекаются внутри треугольника, причем $\angle BAD = \angle CBE = \angle ACM$ (см. рисунок). Являются ли точки $D, E$ и $M$ вершинами равностороннего треугольника? Ответ обоснуйте.
Решение:
Рассмотрим треугольники $ADB, BEC$ и $CMA$ (см. рис.). Имеем: $AB = BC = CA; \angle BAD = \angle CBE = \angle ACM$ (по условию); $\angle ABD = \angle BCE = \angle CAM$, так как эти углы дополняют равные углы до $60^{ \circ}$. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = BE = CM$ и $BD = CE = AM$. Так как $MD = AD - AM, DE = BE - DB, ME = CM - CE$, то $MD = DE = ME$, то есть треугольник $MDE$ - равносторонний.
Ответ: да, является.
