Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12207
2023-02-26 
В конус вписан цилиндр объёма 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом 63. Найдите объём исходного конуса.
Решение:
Пусть высота и радиус исходного конуса равны $H$ и $R$, а высота и радиус цилиндра равны $h$ и $r$. Воспользуемся формулой для объёма усечённого конуса:
$\frac{1}{3}\pi(R^{2}+Rr+r^{2})h=63.$
Также мы знаем, что $\pi r^{2}h=9$. Поделив соответствующие части равенств получаем,
$\left(\frac{R}{r}\right)^{2}+\left(\frac{R}{r}\right)+1=\frac{63\cdot3}{9}=21.$
Условию задачи удовлетворяет только корень $\frac{R}{r}=4$. Тогда
$\frac{H-h}{H}=\frac{r}{R}=\frac{1}{4},~\frac{h}{H}=\frac{3}{4},$
Следовательно, объём исходного конуса равен
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}(\pi r^{2}h)\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\cdot\frac{H}{h}=\frac{1}{3}\cdot9\cdot4^{2}\cdot\frac{4}{3}=64.$
В конус вписан цилиндр объёма 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом 63. Найдите объём исходного конуса.
Решение:
Пусть высота и радиус исходного конуса равны $H$ и $R$, а высота и радиус цилиндра равны $h$ и $r$. Воспользуемся формулой для объёма усечённого конуса:
$\frac{1}{3}\pi(R^{2}+Rr+r^{2})h=63.$
Также мы знаем, что $\pi r^{2}h=9$. Поделив соответствующие части равенств получаем,
$\left(\frac{R}{r}\right)^{2}+\left(\frac{R}{r}\right)+1=\frac{63\cdot3}{9}=21.$
Условию задачи удовлетворяет только корень $\frac{R}{r}=4$. Тогда
$\frac{H-h}{H}=\frac{r}{R}=\frac{1}{4},~\frac{h}{H}=\frac{3}{4},$
Следовательно, объём исходного конуса равен
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}(\pi r^{2}h)\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\cdot\frac{H}{h}=\frac{1}{3}\cdot9\cdot4^{2}\cdot\frac{4}{3}=64.$
