Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1216
2018-11-02 
Прямоугольник m х n разрезан на уголки:
Докажите, что разность между количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.
Решение:
Ясно, что если прямоугольник $m \times n$ разрезан на уголки, то $m \cdot n$ делится на 3. Расставим в клетках прямоугольника числа так, как показано на рис.
Сумма всех этих чисел равна $m \cdot n \frac{m+n}{2}$ и, значит, делится на 3. Сумма чисел, стоящих в уголке вида a, дает при делении на 3 остаток 2; сумма чисел, стоящих в уголке вида b -остаток 1; суммы чисел, стоящих в уголках вида c и d, делятся на 3. Если $n_a$ и $n_b$ -количества уголков вида a и вида b соответственно, то сумма всех чисел в прямоугольнике имеет вид $3N + 2n_a + n_b = 3(N + n_b) + 2(n_a - n_b) $, где N -некоторое целое число. Поэтому $2(n_a - n_b) $ и, следовательно, $n_a - n_b$ делится на 3.
Прямоугольник m х n разрезан на уголки:
Докажите, что разность между количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.
Решение:
Ясно, что если прямоугольник $m \times n$ разрезан на уголки, то $m \cdot n$ делится на 3. Расставим в клетках прямоугольника числа так, как показано на рис.
Сумма всех этих чисел равна $m \cdot n \frac{m+n}{2}$ и, значит, делится на 3. Сумма чисел, стоящих в уголке вида a, дает при делении на 3 остаток 2; сумма чисел, стоящих в уголке вида b -остаток 1; суммы чисел, стоящих в уголках вида c и d, делятся на 3. Если $n_a$ и $n_b$ -количества уголков вида a и вида b соответственно, то сумма всех чисел в прямоугольнике имеет вид $3N + 2n_a + n_b = 3(N + n_b) + 2(n_a - n_b) $, где N -некоторое целое число. Поэтому $2(n_a - n_b) $ и, следовательно, $n_a - n_b$ делится на 3.
