Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1215
2018-11-02 
Окружность с центром O вписана в четырехугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF -в точке N, а прямые BK и CN -в точке M. Докажите, что точки O, K, M и N лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть данная окружность касается стороны AB в точке P (см. рис.). Проведем отрезки OE, OP и PE. Углы AOP и FEP равны, так как оба они измеряются половиной дуги FP. Из этого следует, что $\angle POK + \angle KEP = 180^{ \circ}$, поэтому точки K, O, P и E лежат на одной окружности. Так как $\angle OPB = \angle OEB = 90^{ \circ}$, то точки O, P и E лежат на окружности с диаметром OB, на этой же окружности должна лежать и точка K. Следовательно, $\angle BKO = 90^{ \circ}$. Аналогично доказывается, что $\angle CND = 90^{ \circ}$, откуда и вытекает утверждение задачи.
Окружность с центром O вписана в четырехугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF -в точке N, а прямые BK и CN -в точке M. Докажите, что точки O, K, M и N лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть данная окружность касается стороны AB в точке P (см. рис.). Проведем отрезки OE, OP и PE. Углы AOP и FEP равны, так как оба они измеряются половиной дуги FP. Из этого следует, что $\angle POK + \angle KEP = 180^{ \circ}$, поэтому точки K, O, P и E лежат на одной окружности. Так как $\angle OPB = \angle OEB = 90^{ \circ}$, то точки O, P и E лежат на окружности с диаметром OB, на этой же окружности должна лежать и точка K. Следовательно, $\angle BKO = 90^{ \circ}$. Аналогично доказывается, что $\angle CND = 90^{ \circ}$, откуда и вытекает утверждение задачи.
