Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1214
2018-11-02 
Уравнение $x^{2} + ax + b = 0$ имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x4 + ax3 + (b - 2)x2 -ax +1=0 $x^{4} + ax^{3} + (b-2)x^{2} - ax = 1 $ имеет четыре различных действительных корня.
Решение:
Пусть $х_{1}$ и $х_2$ -различные корни уравнения $x^{2}+ax+b = 0$. Нетрудно проверить, что $x^{4}+ax^{3}+(b-2)x^{2}-ax+1=(x^{2}-x_1x-1)(x^{2}-x_2x-1) $, поскольку по теореме Виета $x_1+x_2=-a, x_1x_2=b$. Остается показать, что корни уравнений $x^{2}-x_1x-1=0$ и $x^{2}-x_2x-1=0$ действительны и попарно различны. Дискриминанты обоих уравнений положительны. Если же х -общий корень этих уравнений, то $ (x^{2}-x_{1}x-1)-(x^{2}-x_2x-1)=x(x_2-x_1)=0$, откуда $х = 0$. Но $х = 0$ не является корнем.
Уравнение $x^{2} + ax + b = 0$ имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x4 + ax3 + (b - 2)x2 -ax +1=0 $x^{4} + ax^{3} + (b-2)x^{2} - ax = 1 $ имеет четыре различных действительных корня.
Решение:
Пусть $х_{1}$ и $х_2$ -различные корни уравнения $x^{2}+ax+b = 0$. Нетрудно проверить, что $x^{4}+ax^{3}+(b-2)x^{2}-ax+1=(x^{2}-x_1x-1)(x^{2}-x_2x-1) $, поскольку по теореме Виета $x_1+x_2=-a, x_1x_2=b$. Остается показать, что корни уравнений $x^{2}-x_1x-1=0$ и $x^{2}-x_2x-1=0$ действительны и попарно различны. Дискриминанты обоих уравнений положительны. Если же х -общий корень этих уравнений, то $ (x^{2}-x_{1}x-1)-(x^{2}-x_2x-1)=x(x_2-x_1)=0$, откуда $х = 0$. Но $х = 0$ не является корнем.
