Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1213
2018-11-02 
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй -на треть, третий -на четверть, четвертый -на одну пятую, пятый -на одну восьмую, шестой -на одну девятую, и седьмой -на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным
а) на одну двенадцатую; б) на одну шестую?
Решение:
а) Если вместимость стакана считать равной 1, то в первых трех стаканах в сумме $1\frac{1}{12}$ воды. Перельем в первый стакан всю воду из второго, а затем из третьего, пока первый не заполнится. После этого в третьем стакане окажется $\frac{1}{12}$.
б) Докажем индукцией по количеству переливаний, что количество воды в непустом стакане после переливаний есть либо 1, либо дробная часть суммы некоторых из чисел $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$, при этом в разных стаканах в суммах участвуют неповторяющиеся числа. База индукции верна. Пусть в стаканах A и B количество воды равно a и b соответственно. Если из стакана A в стакан B переливается вся вода, то новые количества составляют 0 и $a + b$, а если стакан B наполняется из A доверху, то $a + b -1$ и 1. Теперь ясно, что утверждение осталось истинным.
Пусть $\frac{1}{6}= \{ a_1+...+a_k \}$, где $a_i$ -некоторые из чисел $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. Покажем, что в этой сумме нет чисел $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. Действительно, легко проверить, что если там присутствует хотя бы одно из чисел $\frac{1}{5}$ или $\frac{1}{10}$, одно из чисел $\frac{1}{4}$ или $\frac{1}{8}$, или число $\frac{1}{9}$, то знаменатель получившейся дроби делится на 5, 4 или 9 соответственно. В то же время число 6 не делится ни на одно из этих чисел. Из чисел же $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$невозможно сложением получить число с дробной частью $\frac{1}{6}$.
Ответ. а) да; б) нет.
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй -на треть, третий -на четверть, четвертый -на одну пятую, пятый -на одну восьмую, шестой -на одну девятую, и седьмой -на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным
а) на одну двенадцатую; б) на одну шестую?
Решение:
а) Если вместимость стакана считать равной 1, то в первых трех стаканах в сумме $1\frac{1}{12}$ воды. Перельем в первый стакан всю воду из второго, а затем из третьего, пока первый не заполнится. После этого в третьем стакане окажется $\frac{1}{12}$.
б) Докажем индукцией по количеству переливаний, что количество воды в непустом стакане после переливаний есть либо 1, либо дробная часть суммы некоторых из чисел $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$, при этом в разных стаканах в суммах участвуют неповторяющиеся числа. База индукции верна. Пусть в стаканах A и B количество воды равно a и b соответственно. Если из стакана A в стакан B переливается вся вода, то новые количества составляют 0 и $a + b$, а если стакан B наполняется из A доверху, то $a + b -1$ и 1. Теперь ясно, что утверждение осталось истинным.
Пусть $\frac{1}{6}= \{ a_1+...+a_k \}$, где $a_i$ -некоторые из чисел $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. Покажем, что в этой сумме нет чисел $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. Действительно, легко проверить, что если там присутствует хотя бы одно из чисел $\frac{1}{5}$ или $\frac{1}{10}$, одно из чисел $\frac{1}{4}$ или $\frac{1}{8}$, или число $\frac{1}{9}$, то знаменатель получившейся дроби делится на 5, 4 или 9 соответственно. В то же время число 6 не делится ни на одно из этих чисел. Из чисел же $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$невозможно сложением получить число с дробной частью $\frac{1}{6}$.
Ответ. а) да; б) нет.
