Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1211
2018-11-02 
Найдите все простые числа $p$, $q$, $r$ и $s$ такие, что их сумма -простое число, а числа $p^{2}+qs$ и $p^{2}+qr$ -квадраты натуральных чисел. (Числа $p$, $q$, $r$ и $s$ предполагаются различными.)
Решение:
Сумма четырех нечетных простых чисел -четное число, большее двух, значит, одно из этих простых чисел есть 2. Пусть $p \neq 2$, тогда одно из оставшихся чисел -2, а остальные нечетны. Следовательно, одно из выражений $p^{2}+qs$ или $p^{2}+qr$ имеет вид $(2k+1)^{2} + 2(2l+1) = 4(k^{2}+k+l)+3$, что невозможно, так как квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Итак, $p = 2$. Пусть $4+qs=a^{2}$, тогда $qs = (a - 2)(a + 2)$.
Если $a - 2 = 1$, то $qs = 5$, что невозможно. Следовательно, $q = a - 2$, $s = a + 2$, или наоборот, т. е. числа q и s отличаются на 4. Аналогично получаем, что числа $q$ и $r$ отличаются на 4. Значит, либо $s = q - 4$, $r = q + 4$, либо $r = q - 4$, $s = q + 4$. Одно из чисел $q - 4$, q, $q + 4$ делится на 3,
поэтому $q - 4 = 3$, т. е. $q = 7$, а $q + 4=11$.
Ответ. $p = 2$, $q = 7$, $r = 3$, $s = 11$ или $p = 2$, $q = 7$, $r =11$, $s = 3$.
Найдите все простые числа $p$, $q$, $r$ и $s$ такие, что их сумма -простое число, а числа $p^{2}+qs$ и $p^{2}+qr$ -квадраты натуральных чисел. (Числа $p$, $q$, $r$ и $s$ предполагаются различными.)
Решение:
Сумма четырех нечетных простых чисел -четное число, большее двух, значит, одно из этих простых чисел есть 2. Пусть $p \neq 2$, тогда одно из оставшихся чисел -2, а остальные нечетны. Следовательно, одно из выражений $p^{2}+qs$ или $p^{2}+qr$ имеет вид $(2k+1)^{2} + 2(2l+1) = 4(k^{2}+k+l)+3$, что невозможно, так как квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Итак, $p = 2$. Пусть $4+qs=a^{2}$, тогда $qs = (a - 2)(a + 2)$.
Если $a - 2 = 1$, то $qs = 5$, что невозможно. Следовательно, $q = a - 2$, $s = a + 2$, или наоборот, т. е. числа q и s отличаются на 4. Аналогично получаем, что числа $q$ и $r$ отличаются на 4. Значит, либо $s = q - 4$, $r = q + 4$, либо $r = q - 4$, $s = q + 4$. Одно из чисел $q - 4$, q, $q + 4$ делится на 3,
поэтому $q - 4 = 3$, т. е. $q = 7$, а $q + 4=11$.
Ответ. $p = 2$, $q = 7$, $r = 3$, $s = 11$ или $p = 2$, $q = 7$, $r =11$, $s = 3$.
