Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1208
2018-09-29 
На участке реки от A до В течение так медленно, что его можно принять равным нулю. На участке же от В до С оно достаточно быстро. Лодочник проплывает расстояние от A до С за 3 час, а обратно от С до A (вверх) за 3,5 час. Если бы на всем протяжении от A до С течение было такое же, как от В до С, то на весь путь от Л до С потребовалось бы $2 \frac{3}{4}$ час. Сколько времени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться вверх от С до A?
Решение:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде, рассчитанную на час, через $v_{1}$, скорость течения на участке ВС через $v_{2}$, расстояние АС через $S$ и расстояние АВ через $x$. $S$ и $x$ выражены в одних и тех же единицах длины, в скоростях $v_{1}$ и $v_{2}$ употреблены те же единицы длины.
Лодочник на движение вниз по реке тратит 3 час, причем часть этого времени, равная $\frac{x}{v_{1} }$ час, тратится на прохождение пути АВ, а другая, равная $\frac{S - x}{v_{1} + v_{2} }$ час, на прохождение пути ВС. Отсюда получаем уравнение
$\frac{x}{v_{1} } + \frac{S - x}{v_{1} + v_{2} } = 3$.
При движении вверх по реке лодочник тратит на прохождение пути ВС уже $\frac{S-x}{v_{1} - v_{2} }$ час, на прохождение пути АВ прежнее время, т. е. $\frac{x}{v_{1} }$ час, а на весь путь 3,5 час. Отсюда получаем второе уравнение
$\frac{x}{v_{1} } + \frac{S - x}{v_{1} - v_{2} } = 3,5$.
Если бы на всем пути АС скорость течения реки была такая же, как и на участке ВС, то при движении вниз но реке потребовалось бы на прохождение пути АC $\frac{S}{v_{1} + v_{2} }$ час. Так как по условию это число часов равно $2 \frac{3}{4}$, то получаем третье уравнение
$\frac{S}{v_{1} + v_{2} } = 2 \frac{3}{4}$.
После некоторых упрощений полученных уравнений, придем к системе
$\begin{cases} xv_{2} + Sv_{1} = 2v_{1} (v_{1} + v_{2} ); \\ -2xv_{2} + 2Sv_{1} = 7v_{1} (v_{1} - v_{2} ); \\ 4S = 11(v_{1} + v_{2} ). \end{cases}$ (*)
Умножив первое уравнение на 2 и сложив полученное уравнение со вторым, найдем $4Sv_{1} = v_{1}(13v_{1} - v_{2})$. Разделив его на $v_{1} \neq 0$ и вычитая из результата третье уравнение системы (*) найдем $2v_{1} - 12v_{2} = 0$ или $v_{1} = 6v_{2}$. Подставив $v_{1} = 6v_{2}$ в третье уравнение системы (*) получим $v_{2} = \frac{4S}{77}$.
Таким образом, имеем: $v_{2} = \frac{4S}{77}; v_{1} = \frac{24S}{77}; v_{1} - v_{2} = \frac{20S}{77}$. Отсюда искомое время $t = \frac{S}{v_{1} - v_{2} } = \frac{S}{ \frac{20S}{77} } = \frac{77}{20}$ час = 3 час 51 мин.
На участке реки от A до В течение так медленно, что его можно принять равным нулю. На участке же от В до С оно достаточно быстро. Лодочник проплывает расстояние от A до С за 3 час, а обратно от С до A (вверх) за 3,5 час. Если бы на всем протяжении от A до С течение было такое же, как от В до С, то на весь путь от Л до С потребовалось бы $2 \frac{3}{4}$ час. Сколько времени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться вверх от С до A?
Решение:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде, рассчитанную на час, через $v_{1}$, скорость течения на участке ВС через $v_{2}$, расстояние АС через $S$ и расстояние АВ через $x$. $S$ и $x$ выражены в одних и тех же единицах длины, в скоростях $v_{1}$ и $v_{2}$ употреблены те же единицы длины.
Лодочник на движение вниз по реке тратит 3 час, причем часть этого времени, равная $\frac{x}{v_{1} }$ час, тратится на прохождение пути АВ, а другая, равная $\frac{S - x}{v_{1} + v_{2} }$ час, на прохождение пути ВС. Отсюда получаем уравнение
$\frac{x}{v_{1} } + \frac{S - x}{v_{1} + v_{2} } = 3$.
При движении вверх по реке лодочник тратит на прохождение пути ВС уже $\frac{S-x}{v_{1} - v_{2} }$ час, на прохождение пути АВ прежнее время, т. е. $\frac{x}{v_{1} }$ час, а на весь путь 3,5 час. Отсюда получаем второе уравнение
$\frac{x}{v_{1} } + \frac{S - x}{v_{1} - v_{2} } = 3,5$.
Если бы на всем пути АС скорость течения реки была такая же, как и на участке ВС, то при движении вниз но реке потребовалось бы на прохождение пути АC $\frac{S}{v_{1} + v_{2} }$ час. Так как по условию это число часов равно $2 \frac{3}{4}$, то получаем третье уравнение
$\frac{S}{v_{1} + v_{2} } = 2 \frac{3}{4}$.
После некоторых упрощений полученных уравнений, придем к системе
$\begin{cases} xv_{2} + Sv_{1} = 2v_{1} (v_{1} + v_{2} ); \\ -2xv_{2} + 2Sv_{1} = 7v_{1} (v_{1} - v_{2} ); \\ 4S = 11(v_{1} + v_{2} ). \end{cases}$ (*)
Умножив первое уравнение на 2 и сложив полученное уравнение со вторым, найдем $4Sv_{1} = v_{1}(13v_{1} - v_{2})$. Разделив его на $v_{1} \neq 0$ и вычитая из результата третье уравнение системы (*) найдем $2v_{1} - 12v_{2} = 0$ или $v_{1} = 6v_{2}$. Подставив $v_{1} = 6v_{2}$ в третье уравнение системы (*) получим $v_{2} = \frac{4S}{77}$.
Таким образом, имеем: $v_{2} = \frac{4S}{77}; v_{1} = \frac{24S}{77}; v_{1} - v_{2} = \frac{20S}{77}$. Отсюда искомое время $t = \frac{S}{v_{1} - v_{2} } = \frac{S}{ \frac{20S}{77} } = \frac{77}{20}$ час = 3 час 51 мин.
