Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1192
2018-09-29 
Доказать иррациональность числа $\sqrt{2}$.
Решение:
Покажем, что никакая рациональная дробь $\frac{m}{n}$ ($m$ и $n$ - натуральные числа) не равна $\sqrt{2}$. Для доказательства допустим, что существует такая дробь $\frac{m}{n}$, что $\frac{m^{2} }{n^{2} } = 2$. Предполагаем эту дробь несократимой, т. е. $m$ и $n$ не имеющими общих множителей. Из соотношения $\frac{m^{2} }{n^{2} } = 2$ вытекает, что $m^{2} = 2n^{2}$, а это означает, что число $m$ есть четное. Положим $m = 2p$ и подставив в равенство $m^{2} = 2n^{2}$, получим $4p^{2} = 2n^{2}$ или $n^{2} = 2p^{2}$. Но в таком случае число $n$ тоже четное, чего не может быть, так как $\frac{m}{n}$ по предположению — несократимая дробь.
Доказать иррациональность числа $\sqrt{2}$.
Решение:
Покажем, что никакая рациональная дробь $\frac{m}{n}$ ($m$ и $n$ - натуральные числа) не равна $\sqrt{2}$. Для доказательства допустим, что существует такая дробь $\frac{m}{n}$, что $\frac{m^{2} }{n^{2} } = 2$. Предполагаем эту дробь несократимой, т. е. $m$ и $n$ не имеющими общих множителей. Из соотношения $\frac{m^{2} }{n^{2} } = 2$ вытекает, что $m^{2} = 2n^{2}$, а это означает, что число $m$ есть четное. Положим $m = 2p$ и подставив в равенство $m^{2} = 2n^{2}$, получим $4p^{2} = 2n^{2}$ или $n^{2} = 2p^{2}$. Но в таком случае число $n$ тоже четное, чего не может быть, так как $\frac{m}{n}$ по предположению — несократимая дробь.
