Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1188
2018-09-15 
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность $S_{1}$ с центром $O_{1}$ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность $S_{2}$ такого же радиуса с центром $O_{2}$ касается сторон угла MLP, причем стороны LP — в точке B. Оказалось, что точка $O_{1}$ лежит на отрезке AB. Пусть C — точка пересечения прямых $O_{2}D$ и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла ABD.
Решение:
Соединим точку $O_{1}$ с точкой D, а точку $O_{2}$ - с точкой B (см. рис.). Радиусы $O_{1}D$ и $O_{2}B$, перпендикулярные прямой LP, равны и параллельны, поэтому четырехугольник $O_{1}DO_{2}B$ - параллелограмм. Значит. $\angle LDC = \angle DBO_{1}$. Пусть $O_{2}E$ - радиус, перпендикулярный прямой LM. Тогда четырехугольник $CLEO_{2}$ - прямоугольник, следовательно, $CL = O_{2}E = O_{2}B = O_{1}D$. Из этого вытекает, что треугольники $DCL$ и $BDO_{1}$ равны по катету и противолежащему острому углу, откуда CD = DB и, значит, углы DCB и DBC равны. Утверждение задачи следует теперь из равенства углов DCB и CBA ($CD \parallel AB$).
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность $S_{1}$ с центром $O_{1}$ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность $S_{2}$ такого же радиуса с центром $O_{2}$ касается сторон угла MLP, причем стороны LP — в точке B. Оказалось, что точка $O_{1}$ лежит на отрезке AB. Пусть C — точка пересечения прямых $O_{2}D$ и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла ABD.
Решение:
Соединим точку $O_{1}$ с точкой D, а точку $O_{2}$ - с точкой B (см. рис.). Радиусы $O_{1}D$ и $O_{2}B$, перпендикулярные прямой LP, равны и параллельны, поэтому четырехугольник $O_{1}DO_{2}B$ - параллелограмм. Значит. $\angle LDC = \angle DBO_{1}$. Пусть $O_{2}E$ - радиус, перпендикулярный прямой LM. Тогда четырехугольник $CLEO_{2}$ - прямоугольник, следовательно, $CL = O_{2}E = O_{2}B = O_{1}D$. Из этого вытекает, что треугольники $DCL$ и $BDO_{1}$ равны по катету и противолежащему острому углу, откуда CD = DB и, значит, углы DCB и DBC равны. Утверждение задачи следует теперь из равенства углов DCB и CBA ($CD \parallel AB$).
