Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1187
2018-09-15 
Известно, что уравнение $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$ имеет три различных корня. Докажите, что уравнение $cx^{5} + bx + a = 0$ также имеет три различных корня.
Решение:
Число $x = 0$ не может быть корнем уравнения $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$, так как иначе $c = 0$, и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию. Разделив обе части этого уравнения на $x^{5} \neq 0$, получаем, что $a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{5} } = 0$. Следовательно, если $x_{1} , x_{2}$ и $x_{3}$ - различные корни уравнения $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$, то $\frac{1}{x_{1} }, \frac{1}{x_{2} }$ и $\frac{1}{x_{3} }$ - различные корни уравнения $cx^{5} + bx + a = 0$.
Известно, что уравнение $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$ имеет три различных корня. Докажите, что уравнение $cx^{5} + bx + a = 0$ также имеет три различных корня.
Решение:
Число $x = 0$ не может быть корнем уравнения $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$, так как иначе $c = 0$, и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию. Разделив обе части этого уравнения на $x^{5} \neq 0$, получаем, что $a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{5} } = 0$. Следовательно, если $x_{1} , x_{2}$ и $x_{3}$ - различные корни уравнения $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$, то $\frac{1}{x_{1} }, \frac{1}{x_{2} }$ и $\frac{1}{x_{3} }$ - различные корни уравнения $cx^{5} + bx + a = 0$.
