Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1185
2018-09-15 
Существует ли квадратный трехчлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $P(n)$ также записывается одними единицами?
Решение:
Рассмотрим квадратный трехчлен $P(x) = x(9x + 2)$. Если $n = \underbrace{11 \cdots 11}_{k}$, то $9n + 2 = 1 \underbrace{00 \cdots 00}_{k-1} 1$. Следовательно, $P(n) = \underbrace{11 \cdots 11}_{k} \cdot 1 \underbrace{00 \cdots 00}_{k-1} 1 = \underbrace{11 \cdots 11}_{2k}$. Значит, этот квадратный трехчлен удовлетворяет условию.
Ответ. Существует
Существует ли квадратный трехчлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $P(n)$ также записывается одними единицами?
Решение:
Рассмотрим квадратный трехчлен $P(x) = x(9x + 2)$. Если $n = \underbrace{11 \cdots 11}_{k}$, то $9n + 2 = 1 \underbrace{00 \cdots 00}_{k-1} 1$. Следовательно, $P(n) = \underbrace{11 \cdots 11}_{k} \cdot 1 \underbrace{00 \cdots 00}_{k-1} 1 = \underbrace{11 \cdots 11}_{2k}$. Значит, этот квадратный трехчлен удовлетворяет условию.
Ответ. Существует
