Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1181
2018-09-15 
Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая $l$, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой $l$, пересекающие ее в точках D и E. Затем, если $D \neq E$, строятся правильные треугольники DEP и DET, лежащие по разные стороны от прямой $l$. Найдите геометрическое место точек P и T.
Решение:
Возможно несколько случаев расположения прямой $l$ (см. рис.). Рассмотрим случай. изображенный на рис., остальные случаи рассматриваются аналогично. Пусть точка N — середина стороны AC.
Так как углы ADB, BNA, BNC и BEC прямые, то четырехугольники ADBN и BECN можно вписать в окружности. Следовательно, $\angle BDN = \angle BAN = 60^{ \circ}, \angle BEN = \angle BCN = 60^{ \circ}$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Поэтому треугольник DNE правильный, какова бы ни была прямая $l$, не пересекающая отрезок AC. Итак, вершина T одного из рассматриваемых треугольников находится в середине отрезка AC. Вершина P другого правильного треугольника симметрична фиксированной точке T = N относительно прямой $l$; поэтому BP = BN, и P лежит на нашей окружности.
Покажем теперь, что любая точка P этой окружности, отличная от N, будет вершиной правильного треугольника DEP при некотором выборе прямой $l$. Для этого соединим точки P и N и через середину M отрезка NP проведем прямую, перпендикулярную NP. Она пройдет через точку B, так как серединный перпендикуляр к хорде является диаметром окружности (см. рис.).
Ответ. Окружность с центром в точке B и радиусом, равным высоте треугольника ABC.
Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая $l$, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой $l$, пересекающие ее в точках D и E. Затем, если $D \neq E$, строятся правильные треугольники DEP и DET, лежащие по разные стороны от прямой $l$. Найдите геометрическое место точек P и T.
Решение:
Возможно несколько случаев расположения прямой $l$ (см. рис.). Рассмотрим случай. изображенный на рис., остальные случаи рассматриваются аналогично. Пусть точка N — середина стороны AC.
Так как углы ADB, BNA, BNC и BEC прямые, то четырехугольники ADBN и BECN можно вписать в окружности. Следовательно, $\angle BDN = \angle BAN = 60^{ \circ}, \angle BEN = \angle BCN = 60^{ \circ}$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Поэтому треугольник DNE правильный, какова бы ни была прямая $l$, не пересекающая отрезок AC. Итак, вершина T одного из рассматриваемых треугольников находится в середине отрезка AC. Вершина P другого правильного треугольника симметрична фиксированной точке T = N относительно прямой $l$; поэтому BP = BN, и P лежит на нашей окружности.
Покажем теперь, что любая точка P этой окружности, отличная от N, будет вершиной правильного треугольника DEP при некотором выборе прямой $l$. Для этого соединим точки P и N и через середину M отрезка NP проведем прямую, перпендикулярную NP. Она пройдет через точку B, так как серединный перпендикуляр к хорде является диаметром окружности (см. рис.).
Ответ. Окружность с центром в точке B и радиусом, равным высоте треугольника ABC.
