Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1179
2018-09-15 
На доске написано: $x^{3} + \cdots x^{2} + \cdots x + \cdots = 0$. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого — получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Решение:
Начинающий может добиться наличия ровно одного корня независимо от игры соперника. Для этого ему достаточно своим первым ходом задать коэффициент при $x^{2}$ равным нулю. После этого второй игрок задает либо свободный член, либо коэффициент при $x$. Рассмотрим оба этих случая.
В первом случае начинающему достаточно вторым ходом обнулить коэффициент при $x$. Действительно, полученное уравнение имеет вид $x^{3} + c = 0$ и имеет ровно один корень, так как функция $y = x^{3} + c$ возрастает на всей действительной оси.
Во втором случае начинающему нужно подходящим образом выбрать коэффициент $c$ у функции $y = x^{3} + bx + c$. Если $b \geq 0$, то $y^{ \prime} = 3x^{2} + b \geq 0$ и $y(x)$ возрастает, следовательно, уравнение $y(x) = 0$ имеет ровно один корень при любом значении $c$. Если же второй игрок задал отрицательное значение $b$, то, как нетрудно проверить, функция $y_{1}(x) = x^{3} + bx$ имеет локальный минимум $-m$ в точке $x_{0} = \sqrt{ - \frac{b}{3} }$ и возрастает при $x \leq - x_{0}$ и $x \geq x_{0}$. Поэтому начинающему достаточно выбрать $c > m$ для того, чтобы уравнение $x^{3} + bx + c = 0$ имело ровно один корень.
Ответ. Не сможет.
На доске написано: $x^{3} + \cdots x^{2} + \cdots x + \cdots = 0$. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого — получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Решение:
Начинающий может добиться наличия ровно одного корня независимо от игры соперника. Для этого ему достаточно своим первым ходом задать коэффициент при $x^{2}$ равным нулю. После этого второй игрок задает либо свободный член, либо коэффициент при $x$. Рассмотрим оба этих случая.
В первом случае начинающему достаточно вторым ходом обнулить коэффициент при $x$. Действительно, полученное уравнение имеет вид $x^{3} + c = 0$ и имеет ровно один корень, так как функция $y = x^{3} + c$ возрастает на всей действительной оси.
Во втором случае начинающему нужно подходящим образом выбрать коэффициент $c$ у функции $y = x^{3} + bx + c$. Если $b \geq 0$, то $y^{ \prime} = 3x^{2} + b \geq 0$ и $y(x)$ возрастает, следовательно, уравнение $y(x) = 0$ имеет ровно один корень при любом значении $c$. Если же второй игрок задал отрицательное значение $b$, то, как нетрудно проверить, функция $y_{1}(x) = x^{3} + bx$ имеет локальный минимум $-m$ в точке $x_{0} = \sqrt{ - \frac{b}{3} }$ и возрастает при $x \leq - x_{0}$ и $x \geq x_{0}$. Поэтому начинающему достаточно выбрать $c > m$ для того, чтобы уравнение $x^{3} + bx + c = 0$ имело ровно один корень.
Ответ. Не сможет.
