Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1178
2018-09-15 
Дан правильный $2n$-угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
Решение:
Первое решение. Будем называть диагональ правильного многоугольника главной, если она проходит через его центр. Для каждой неглавной диагонали существует симметричная ей относительно центра неглавная диагональ. Таким образом, все неглавные диагонали разбиваются на пары. Поставив в каждой такой паре стрелки в противоположных направлениях, мы получим векторы, дающие в сумме 0 (см. рис.).
Осталось расставить стрелки на сторонах и главных диагоналях.
Случай $n = 2k +1$ (см. рис.).
Расставим стрелки на сторонах по циклу, полученные векторы в сумме дадут 0. Поставим стрелки на главных диагоналях к 1-й, 3-й, ..., $(2n - 1)$-й вершинам. Тогда на каждой диагонали окажется ровно одна стрелка. Полученная система векторов переходит в себя при повороте вокруг центра на угол $2 \frac{ \pi}{2k + 1}$, следовательно, при таком повороте переходит в себя и вектор, являющийся их суммой, значит, он равен 0.
Случай $n = 2l$ (см. рис.).
Выделим в многоугольнике циклы, состоящие из пар соседних главных диагоналей и соединяющих их сторон. В каждом цикле поставим стрелки так, чтобы сумма получившихся векторов была равна 0. Осталось поставить стрелки на сторонах, взятых через одну. Расставим их по циклу и получим 0, так как они переходят в себя при повороте на угол $\frac{ \pi}{k}$ вокруг центра.
Второе решение. Требуемая расстановка стрелок для квадрата изображена на рис. Взяв вершины $2n$-угольника ($n \geq 3$) через одну, получим два правильных $n$-угольника $M_{1}$ и $M_{2}$. Предположим, что мы умеем решать задачу для правильного $n$-угольника. Для того чтобы решить ее для $2n$-угольника, достаточно из каждой вершины $M_{1}$ провести векторы во все вершины $M_{2}$ (см. рис.); так как их сумма не изменится при повороте на угол $2 \frac{ \pi}{n}$ вокруг центра, следовательно, она равна 0.
Если $n$ - нечетное число, то проведем из каждой вершины векторы в следующие за ней $\frac{n - 1}{2}$ вершин (см. рис.), тогда их сумма равна 0, так как она не изменится при повороте на угол $\frac{ \pi}{n}$ вокруг центра.
Итак, мы можем, начав с квадрата или нечетноугольника, удвоением числа сторон получить требуемую расстановку стрелок для любого правильного $2n$-угольника.
Замечание. Справедлива следующая теорема (Л.Эйлер, 1736 год): если в многоугольнике из каждой вершины выходит четное число отрезков, соединяющих ее с другими вершинами, то все эти отрезки можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя никакой отрезок дважды. Ясно, что отсюда вытекает решение нашей задачи для нечетноугольника (не обязательно правильного).
Дан правильный $2n$-угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
Решение:
Первое решение. Будем называть диагональ правильного многоугольника главной, если она проходит через его центр. Для каждой неглавной диагонали существует симметричная ей относительно центра неглавная диагональ. Таким образом, все неглавные диагонали разбиваются на пары. Поставив в каждой такой паре стрелки в противоположных направлениях, мы получим векторы, дающие в сумме 0 (см. рис.).
Осталось расставить стрелки на сторонах и главных диагоналях.
Случай $n = 2k +1$ (см. рис.).
Расставим стрелки на сторонах по циклу, полученные векторы в сумме дадут 0. Поставим стрелки на главных диагоналях к 1-й, 3-й, ..., $(2n - 1)$-й вершинам. Тогда на каждой диагонали окажется ровно одна стрелка. Полученная система векторов переходит в себя при повороте вокруг центра на угол $2 \frac{ \pi}{2k + 1}$, следовательно, при таком повороте переходит в себя и вектор, являющийся их суммой, значит, он равен 0.
Случай $n = 2l$ (см. рис.).
Выделим в многоугольнике циклы, состоящие из пар соседних главных диагоналей и соединяющих их сторон. В каждом цикле поставим стрелки так, чтобы сумма получившихся векторов была равна 0. Осталось поставить стрелки на сторонах, взятых через одну. Расставим их по циклу и получим 0, так как они переходят в себя при повороте на угол $\frac{ \pi}{k}$ вокруг центра.
Второе решение. Требуемая расстановка стрелок для квадрата изображена на рис. Взяв вершины $2n$-угольника ($n \geq 3$) через одну, получим два правильных $n$-угольника $M_{1}$ и $M_{2}$. Предположим, что мы умеем решать задачу для правильного $n$-угольника. Для того чтобы решить ее для $2n$-угольника, достаточно из каждой вершины $M_{1}$ провести векторы во все вершины $M_{2}$ (см. рис.); так как их сумма не изменится при повороте на угол $2 \frac{ \pi}{n}$ вокруг центра, следовательно, она равна 0.
Если $n$ - нечетное число, то проведем из каждой вершины векторы в следующие за ней $\frac{n - 1}{2}$ вершин (см. рис.), тогда их сумма равна 0, так как она не изменится при повороте на угол $\frac{ \pi}{n}$ вокруг центра.
Итак, мы можем, начав с квадрата или нечетноугольника, удвоением числа сторон получить требуемую расстановку стрелок для любого правильного $2n$-угольника.
Замечание. Справедлива следующая теорема (Л.Эйлер, 1736 год): если в многоугольнике из каждой вершины выходит четное число отрезков, соединяющих ее с другими вершинами, то все эти отрезки можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя никакой отрезок дважды. Ясно, что отсюда вытекает решение нашей задачи для нечетноугольника (не обязательно правильного).
