Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1177
2018-09-15 
Точка O — основание высоты четырехугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями. Докажите, что отрезок AD проходит через четвертую точку касания.
Решение:
Пусть K, L, M и N — точки касания сферы с гранями пирамиды (см. рис.). Эти точки лежат в одной плоскости. Действительно, отрезки SK, SL, SM и SN равны как отрезки касательных, проведенных к сфере из точки S (S — вершина пирамиды). Значит, точки K, L, M и N лежат еще и на сфере с центром в точке S и радиусом SK, а следовательно, и на одной окружности, являющейся линией пересечения этой сферы с данной. Плоскость этой окружности перпендикулярна прямой SO — линии центров сфер, т. е. параллельна плоскости основания пирамиды, а поэтому пересекает ее боковые ребра.
Обозначим эти точки пересечения через $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ и $D_{1}$ (см. рис.). Соединим точку N с точками A и D.
Треугольник $AA_{1}N$ равен треугольнику $AA_{1}K$, так как $A_{1}K = A_{1}N, AK = AN$ (отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны), а сторона $AA_{1}$ у них общая. Следовательно, $\angle ANA_{1} = \angle AKA_{1}$.
Аналогично$\angle BKB_{1} = \angle BLB_{1}, \angle CLC_{1} = \angle CMC_{1}$ и $\angle DMD_{1} = \angle DND_{1}$. Кроме того, $\angle AKA_{1} = \angle BKB_{1}, \angle BLB_{1} = \angle CLC_{1}$ и $\angle CMC_{1} = \angle DMD_{1}$ как вертикальные. Поэтому $\angle ANA_{1} = \angle DND_{1}$, следовательно, точка N лежит на отрезке AD.
Точка O — основание высоты четырехугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями. Докажите, что отрезок AD проходит через четвертую точку касания.
Решение:
Пусть K, L, M и N — точки касания сферы с гранями пирамиды (см. рис.). Эти точки лежат в одной плоскости. Действительно, отрезки SK, SL, SM и SN равны как отрезки касательных, проведенных к сфере из точки S (S — вершина пирамиды). Значит, точки K, L, M и N лежат еще и на сфере с центром в точке S и радиусом SK, а следовательно, и на одной окружности, являющейся линией пересечения этой сферы с данной. Плоскость этой окружности перпендикулярна прямой SO — линии центров сфер, т. е. параллельна плоскости основания пирамиды, а поэтому пересекает ее боковые ребра.
Обозначим эти точки пересечения через $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ и $D_{1}$ (см. рис.). Соединим точку N с точками A и D.
Треугольник $AA_{1}N$ равен треугольнику $AA_{1}K$, так как $A_{1}K = A_{1}N, AK = AN$ (отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны), а сторона $AA_{1}$ у них общая. Следовательно, $\angle ANA_{1} = \angle AKA_{1}$.
Аналогично$\angle BKB_{1} = \angle BLB_{1}, \angle CLC_{1} = \angle CMC_{1}$ и $\angle DMD_{1} = \angle DND_{1}$. Кроме того, $\angle AKA_{1} = \angle BKB_{1}, \angle BLB_{1} = \angle CLC_{1}$ и $\angle CMC_{1} = \angle DMD_{1}$ как вертикальные. Поэтому $\angle ANA_{1} = \angle DND_{1}$, следовательно, точка N лежит на отрезке AD.
