Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1176
2018-09-15 
Докажите, что для любого натурального $n > 2$ число
$[ ( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} ] + 1$
делится на 8.
Решение:
Утверждение будет доказано, если мы покажем, что при $n \geq 3$ справедливо равенство
$[( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} ] + 1 = 8n _ 8$
Для этого достаточно показать, что при $n \geq 3$ справедливы неравенства
$8n + 7 < ( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} < 8n + 8$,
т. е.
$6n + 5 < 3 ( \sqrt[3]{n^{2} (n + 2) } + \sqrt[3]{n(n + 2)^{2}} ) < 6n + 6$.
Правое неравенство следует из того, что $n^{2}(n + 2) < \left ( n + \frac{2}{3} \right )^{3}$ и $n(n + 2)^{2} < \left ( n + \frac{4}{3} \right )^{3}$.
Левое неравенство следует из того, что
$\sqrt[3]{n^{2}(n + 2)} + \sqrt[3]{n(n + 2)^{2}} \geq 2 \sqrt{ \sqrt[3]{n^{2}(n + 2) } \sqrt[3]{n(n + 2)^{2} } } = 2 \sqrt{n(n + 2)}$
и $n(n + 2) > \left ( n + \frac{5}{6} \right )^{2}$ при $n > \frac{25}{12}$, т. е. при $n \geq 3$.
Замечание 1. Правое неравенство можно было доказать, воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для трех чисел: $3 \sqrt[3]{ n^{2}(n + 2)} = 3 \sqrt[3]{n \cdot n(n + 2)} < n + n + (n + 2)$ и $3 \sqrt[3]{n(n + 2)^{2}} < n + (n + 2) + (n + 2)$ (неравенства строгие, так как $n \neq n + 2$).
Замечание 2. Утверждение задачи справедливо и при $n = 2$, что можно проверить непосредственно.
Докажите, что для любого натурального $n > 2$ число
$[ ( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} ] + 1$
делится на 8.
Решение:
Утверждение будет доказано, если мы покажем, что при $n \geq 3$ справедливо равенство
$[( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} ] + 1 = 8n _ 8$
Для этого достаточно показать, что при $n \geq 3$ справедливы неравенства
$8n + 7 < ( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} < 8n + 8$,
т. е.
$6n + 5 < 3 ( \sqrt[3]{n^{2} (n + 2) } + \sqrt[3]{n(n + 2)^{2}} ) < 6n + 6$.
Правое неравенство следует из того, что $n^{2}(n + 2) < \left ( n + \frac{2}{3} \right )^{3}$ и $n(n + 2)^{2} < \left ( n + \frac{4}{3} \right )^{3}$.
Левое неравенство следует из того, что
$\sqrt[3]{n^{2}(n + 2)} + \sqrt[3]{n(n + 2)^{2}} \geq 2 \sqrt{ \sqrt[3]{n^{2}(n + 2) } \sqrt[3]{n(n + 2)^{2} } } = 2 \sqrt{n(n + 2)}$
и $n(n + 2) > \left ( n + \frac{5}{6} \right )^{2}$ при $n > \frac{25}{12}$, т. е. при $n \geq 3$.
Замечание 1. Правое неравенство можно было доказать, воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для трех чисел: $3 \sqrt[3]{ n^{2}(n + 2)} = 3 \sqrt[3]{n \cdot n(n + 2)} < n + n + (n + 2)$ и $3 \sqrt[3]{n(n + 2)^{2}} < n + (n + 2) + (n + 2)$ (неравенства строгие, так как $n \neq n + 2$).
Замечание 2. Утверждение задачи справедливо и при $n = 2$, что можно проверить непосредственно.
