Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1175
2018-09-15 
Найдите все натуральные числа $n$, для которых сумма цифр числа $5^{n}$ равна $2^{n}$.
Решение:
Проверка показывает, что из чисел $n = 1, 2, 3, 4, 5$ подходит только $n = 3$.
Докажем, что при $n \geq 6$ сумма цифр числа $5^{n}$ меньше, чем $2^{ n}$ (т. е. другие значения $n$ не подходят). Действительно, число $5^{n}$ не более, чем $n$-значное, поэтому сумма его цифр не больше, чем $9n$.
С другой стороны, при $n \geq 6$ справедливо неравенство $2^{n} \geq 9n$. В самом деле, при $n = 6$ оно верно, а при увеличении n на единицу правая часть этого неравенства увеличивается на 9, а левая — не менее, чем на 64, следовательно, неравенство верно и при каждом следующем значении $n$.
Ответ. n = 3.
Найдите все натуральные числа $n$, для которых сумма цифр числа $5^{n}$ равна $2^{n}$.
Решение:
Проверка показывает, что из чисел $n = 1, 2, 3, 4, 5$ подходит только $n = 3$.
Докажем, что при $n \geq 6$ сумма цифр числа $5^{n}$ меньше, чем $2^{ n}$ (т. е. другие значения $n$ не подходят). Действительно, число $5^{n}$ не более, чем $n$-значное, поэтому сумма его цифр не больше, чем $9n$.
С другой стороны, при $n \geq 6$ справедливо неравенство $2^{n} \geq 9n$. В самом деле, при $n = 6$ оно верно, а при увеличении n на единицу правая часть этого неравенства увеличивается на 9, а левая — не менее, чем на 64, следовательно, неравенство верно и при каждом следующем значении $n$.
Ответ. n = 3.
