Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1174
2018-09-15 
Из квадратной доски $1000 \times 1000$ клеток удалены четыре прямоугольника $2 \times 994$ (см. рис.). На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр — фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Рассмотрим правый нижний фрагмент доски (см. рис.). Очевидно, что через несколько ходов кентавр окажется в клетке a3. Игрок, делающий ход с a3, либо выигрывает, либо проигрывает. В первом случае второй игрок может добиться того, чтобы делать ход с этой клетки ($a1 \rightarrow ^{I} a2 \rightarrow ^{II}b3 \rightarrow ^{I} a3 \rightarrow ^{II} \cdots$ или $a1 \rightarrow ^{I}b2 \rightarrow ^{II}b3 \rightarrow ^{I}a3 \rightarrow ^{II} \cdots$), а во втором случае он может заставить своего противника ходить с $a3 (a1 \rightarrow ^{I} a2 \rightarrow ^{II}a3 \rightarrow ^{I} \cdots$ или $a1 \rightarrow ^{I}b2 \rightarrow ^{II}c3 \rightarrow ^{I}b2 \rightarrow ^{II}a3 \rightarrow ^{I} \cdots$). Поэтому при правильной игре второй игрок выигрывает.
Ответ. Выигрывает второй игрок.
Из квадратной доски $1000 \times 1000$ клеток удалены четыре прямоугольника $2 \times 994$ (см. рис.). На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр — фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Рассмотрим правый нижний фрагмент доски (см. рис.). Очевидно, что через несколько ходов кентавр окажется в клетке a3. Игрок, делающий ход с a3, либо выигрывает, либо проигрывает. В первом случае второй игрок может добиться того, чтобы делать ход с этой клетки ($a1 \rightarrow ^{I} a2 \rightarrow ^{II}b3 \rightarrow ^{I} a3 \rightarrow ^{II} \cdots$ или $a1 \rightarrow ^{I}b2 \rightarrow ^{II}b3 \rightarrow ^{I}a3 \rightarrow ^{II} \cdots$), а во втором случае он может заставить своего противника ходить с $a3 (a1 \rightarrow ^{I} a2 \rightarrow ^{II}a3 \rightarrow ^{I} \cdots$ или $a1 \rightarrow ^{I}b2 \rightarrow ^{II}c3 \rightarrow ^{I}b2 \rightarrow ^{II}a3 \rightarrow ^{I} \cdots$). Поэтому при правильной игре второй игрок выигрывает.
Ответ. Выигрывает второй игрок.
