Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1173
2018-09-15 
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F, разбивая его на две части. Докажите, что эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K, определяемая условиями $EK \parallel AD, FK \parallel AB$, лежит на отрезке MN.
Решение:
Соединим точку K с точками A, B и D и обозначим через O, L и P точки пересечения KA и BD, KB и AM, KD и AN соответственно (см. рис.). Покажем, что $S_{AEF} = S_{EMKNF}$. Так как $FK \parallel CD$, то $S_{FPD} = S_{KPN}$. Аналогично, так как $KE \parallel CB$, то $S_{BLE} = S_{MLK}$. Из этих равенств получаем, что $S_{BKD} = S_{EMNKF}$. Далее, из равенств $S_{AOF} = S_{BOK}$ (так как $FK \parallel AB$) и $S_{AOE} = S_{KOD}$ (так как $EK \parallel AD$) получаем, что $S_{AEF} = S_{EMKNF}$. Теперь ясно, что $S_{AEF} = S_{EMNF}$ тогда и только тогда, когда точка K лежит на отрезке MN.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F, разбивая его на две части. Докажите, что эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K, определяемая условиями $EK \parallel AD, FK \parallel AB$, лежит на отрезке MN.
Решение:
Соединим точку K с точками A, B и D и обозначим через O, L и P точки пересечения KA и BD, KB и AM, KD и AN соответственно (см. рис.). Покажем, что $S_{AEF} = S_{EMKNF}$. Так как $FK \parallel CD$, то $S_{FPD} = S_{KPN}$. Аналогично, так как $KE \parallel CB$, то $S_{BLE} = S_{MLK}$. Из этих равенств получаем, что $S_{BKD} = S_{EMNKF}$. Далее, из равенств $S_{AOF} = S_{BOK}$ (так как $FK \parallel AB$) и $S_{AOE} = S_{KOD}$ (так как $EK \parallel AD$) получаем, что $S_{AEF} = S_{EMKNF}$. Теперь ясно, что $S_{AEF} = S_{EMNF}$ тогда и только тогда, когда точка K лежит на отрезке MN.
