Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1172
2018-09-15 
Докажите, что $\sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1993]{1993} }} < 2$.
Решение:
Докажем по индукции неравенство $2^{n- 1} \geq n + 1$ для $n \geq 3$. Действительно, при $n = 3$ имеем: $2^{3-1} = 3 + 1$, а из $2^{k - 1} \geq k + 1$ вытекает, что $2^{k} > 2(k +1) > k + 2$. Из доказанного неравенства следует, что
$\sqrt[n-1]{n + 1} \leq 2$ при $n \geq 3$. (1)
Заметим, что $2^{1993} > 1993$, откуда следует, что $\sqrt[1993]{1993} < 2$. Используя это неравенство и неравенство (1), последовательно получаем:
$\sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1992]{1992 + \sqrt[1993]{1993} } } } < \sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1992]{1992 + 2} } } \leq \cdots \sqrt{ 2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[k]{k + 2} } } \leq \cdots \leq \sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + 2} } \leq \sqrt{2 + 2} = 2$.
Замечание. Для доказательства неравенства $2^{n-1} \geq n + 1$ можно было также воспользоваться неравенством Бернулли: $(1 + x)^{n} > 1 + nx$ для $x > - 1, x \neq 0, 1 < n in N$.
Докажите, что $\sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1993]{1993} }} < 2$.
Решение:
Докажем по индукции неравенство $2^{n- 1} \geq n + 1$ для $n \geq 3$. Действительно, при $n = 3$ имеем: $2^{3-1} = 3 + 1$, а из $2^{k - 1} \geq k + 1$ вытекает, что $2^{k} > 2(k +1) > k + 2$. Из доказанного неравенства следует, что
$\sqrt[n-1]{n + 1} \leq 2$ при $n \geq 3$. (1)
Заметим, что $2^{1993} > 1993$, откуда следует, что $\sqrt[1993]{1993} < 2$. Используя это неравенство и неравенство (1), последовательно получаем:
$\sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1992]{1992 + \sqrt[1993]{1993} } } } < \sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1992]{1992 + 2} } } \leq \cdots \sqrt{ 2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[k]{k + 2} } } \leq \cdots \leq \sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + 2} } \leq \sqrt{2 + 2} = 2$.
Замечание. Для доказательства неравенства $2^{n-1} \geq n + 1$ можно было также воспользоваться неравенством Бернулли: $(1 + x)^{n} > 1 + nx$ для $x > - 1, x \neq 0, 1 < n in N$.
