ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-15   
Решите в положительных числах систему уравнений

$\begin{cases} x_{1} + \frac{1}{x_{2} } = 4, \\ x_{2} + \frac{1}{x_{3} } = 1, \\ x_{3} + \frac{1}{x_{4} } = 4, \\ \cdots \\ x_{99} + \frac{1}{x_{100}} = 4, \\ x_{100} + \frac{1}{x_{1} } = 1. \end{cases}$


Решение:


В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных чисел $x$ и $y$ имеем: $x + \frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{ \frac{x}{y} }$. Поэтому

$x_{1} + \frac{1}{x_{2} } \geq 2 \sqrt{ \frac{x_{1} }{x_{2} } }$,
$x_{2} + \frac{1}{x_{3} } \geq 2 \sqrt{ \frac{x_{2} }{x_{3} } }$, (1)
$\cdots$
$x_{100} + \frac{1}{x_{1} } \geq 2 \sqrt{ \frac{x_{100} }{x_{1} } }$.

Перемножая эти неравенства, получаем неравенство

$\left ( x_{1} + \frac{1}{x_{2} } \right ) \left ( x_{2} + \frac{1}{x_{3} } \right ) \cdots \left ( x_{100} + \frac{1}{x_{1} } \right ) \geq 2^{100} = 4^{50}$;

перемножая уравнения системы, видим, что это неравенство обращается в равенство. Следовательно, каждое из неравенств (1) должно обращаться в равенство, т. е.

$x_{1} = \frac{1}{x_{2} }, x_{2} = \frac{1}{x_{3} }, \cdots , x_{100} = \frac{1}{x_{1} }$.

Подставляя полученные выражения для $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{100}$ в данную систему уравнений, находим ответ.
Ответ. $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}, x_{3} = 2, x_{4} = \frac{1}{2}, \cdots, x_{99} = 2, x_{100} = \frac{1}{2}$.