Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1159
2017-12-09 
Что больше $\frac{2}{201}$ или $ln \frac{101}{100}$? Докажите аналитически.
Решение:
Обозначим $x = \frac{1}{100}$ и перепишем неравенство в виде: $\frac{0,02}{0,01 + 2}$ и $ln \left ( 1 + \frac{1}{100} \right )$. Это равносильно $\frac{2x}{x + 2}$ и $ln(1 + x)$. Составим функцию: $f(x) = \frac{2x}{x + 2} - ln (1 + x)$ и исследуем ее на знак.
$f^{ \prime}(x) = \frac{4}{(x + 2)^{2}} - \frac{1}{1 + x} = \frac{ - x^{2}}{(x +2 )^{2} (1 + x)}$
Эта производная меньше нуля при $x > - 1$, значит, функция убывает, начиная с точки $x = - 1$, и при $x = 0$ принимает значение $f(0)=0$, значит при $x > 0$ сама функция меньше нуля, т.е.:
$\frac{2x}{x + 2} < ln (1 + x)$
И, подставляя $x = \frac{1}{100}$, получим ответ:
$\frac{2}{201} < ln \frac{101}{100}$
Что больше $\frac{2}{201}$ или $ln \frac{101}{100}$? Докажите аналитически.
Решение:
Обозначим $x = \frac{1}{100}$ и перепишем неравенство в виде: $\frac{0,02}{0,01 + 2}$ и $ln \left ( 1 + \frac{1}{100} \right )$. Это равносильно $\frac{2x}{x + 2}$ и $ln(1 + x)$. Составим функцию: $f(x) = \frac{2x}{x + 2} - ln (1 + x)$ и исследуем ее на знак.
$f^{ \prime}(x) = \frac{4}{(x + 2)^{2}} - \frac{1}{1 + x} = \frac{ - x^{2}}{(x +2 )^{2} (1 + x)}$
Эта производная меньше нуля при $x > - 1$, значит, функция убывает, начиная с точки $x = - 1$, и при $x = 0$ принимает значение $f(0)=0$, значит при $x > 0$ сама функция меньше нуля, т.е.:
$\frac{2x}{x + 2} < ln (1 + x)$
И, подставляя $x = \frac{1}{100}$, получим ответ:
$\frac{2}{201} < ln \frac{101}{100}$
