Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1158
2015-12-03 
График функции $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c ,c < 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ c осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a, b, c$ если площадь треугольника $AMN$ равна 1.
Решение:
Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ — абсциссы точек, в которых график функции $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$, где $c < 0$, пересекает ось $Ox$. Тогда $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни многочлена $f(x)$, а $f(x)$ делится на $(x — x_{1})(x — x_{2})$, откуда следует, что $f(x) = (x — x_{1})(x — x_{2})(x — \alpha)$, где $\alpha$ — одно из чисел $x_{1}, x_{2}$ (уравнение $f(x) = 0$ по условию имеет ровно два различных корня). Таким образом, многочлен $f(x)$ имеет вид $f(x) = (x – x_{1})^{2}(x – x_{2})$, откуда находим $f^{\prime} (x_{1})= 0$ и касательная к графику функции в точке $(x_{1}, 0)$ совпадает с осью $Ox$.
По условию ордината точки $A$ равна $c$, где $c < 0$, а касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $M$ проходит через точку $A$. Поэтому абсцисса точки $M$ равна $x_{2}$, а абсцисса точки $N$ равна $x_{1}$ (рис.). Задача сводится к нахождению чисел $x_{1}$ и $x_{2}$. Так как $f^{\prime}(x_{2}) = (x_{2} – x_{1})^{2} = k$, то уравнение прямой, касающейся в точке $M$ графика функции $y = f(x)$, имеет вид $y = k(x — x_{2})$. Эта прямая проходит через точку $A(0, c)$, где $c = - kx_{2}$ и $x_{2}x_{1}^{2} = x_{2}(x_{2} — x_{1})^{2}$, откуда $x_{2} = 2x_{1} (x_{2} \neq 0)$ и $c = — 2x_{1}^{3}$.
Пусть $S$ — площадь треугольника $AMN$, тогда $S = 1 =
- c \frac{1}{2} (x_{2} — x_{1}) = - \frac{1}{2} cx_{1}$, откуда $c = - \frac{2}{x_{1}} = —2x_{1}^{3}, x_{1} = 1, x_{2} = 2,
f(x) = (x - 1)^{2}(x - 2) = x^{3} – 4x^{2} + 5x – 2$.
График функции $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c ,c < 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ c осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a, b, c$ если площадь треугольника $AMN$ равна 1.
Решение:
Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ — абсциссы точек, в которых график функции $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$, где $c < 0$, пересекает ось $Ox$. Тогда $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни многочлена $f(x)$, а $f(x)$ делится на $(x — x_{1})(x — x_{2})$, откуда следует, что $f(x) = (x — x_{1})(x — x_{2})(x — \alpha)$, где $\alpha$ — одно из чисел $x_{1}, x_{2}$ (уравнение $f(x) = 0$ по условию имеет ровно два различных корня). Таким образом, многочлен $f(x)$ имеет вид $f(x) = (x – x_{1})^{2}(x – x_{2})$, откуда находим $f^{\prime} (x_{1})= 0$ и касательная к графику функции в точке $(x_{1}, 0)$ совпадает с осью $Ox$.
По условию ордината точки $A$ равна $c$, где $c < 0$, а касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $M$ проходит через точку $A$. Поэтому абсцисса точки $M$ равна $x_{2}$, а абсцисса точки $N$ равна $x_{1}$ (рис.). Задача сводится к нахождению чисел $x_{1}$ и $x_{2}$. Так как $f^{\prime}(x_{2}) = (x_{2} – x_{1})^{2} = k$, то уравнение прямой, касающейся в точке $M$ графика функции $y = f(x)$, имеет вид $y = k(x — x_{2})$. Эта прямая проходит через точку $A(0, c)$, где $c = - kx_{2}$ и $x_{2}x_{1}^{2} = x_{2}(x_{2} — x_{1})^{2}$, откуда $x_{2} = 2x_{1} (x_{2} \neq 0)$ и $c = — 2x_{1}^{3}$.
Пусть $S$ — площадь треугольника $AMN$, тогда $S = 1 =
- c \frac{1}{2} (x_{2} — x_{1}) = - \frac{1}{2} cx_{1}$, откуда $c = - \frac{2}{x_{1}} = —2x_{1}^{3}, x_{1} = 1, x_{2} = 2,
f(x) = (x - 1)^{2}(x - 2) = x^{3} – 4x^{2} + 5x – 2$.
