Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 11570
2023-02-21 
Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$.
Решение:
Пусть $R$ - искомый радиус, $O$ - центр сферы (рис.1). Рассмотрим сечение конуса и вписанной в него сферы плоскостью, проходящей через высоту $PM$ конуса (рис.2). Получим равнобедренный треугольник $APB$ с основанием $AB=2r$ и высотой $PM=h$ и вписанную в него окружность радиуса $R$ с центром $O$. Точка $O$ лежит на биссектрисе прямоугольного треугольника $AMP$, причём $OM=R$. По свойству биссектрисы треугольника $\frac{OM}{OP}=\frac{AM}{AP}$, или
$\frac{R}{h-R}=\frac{r}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.$
Из полученного уравнения находим, что
$R=\frac{hr}{r+\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.$
Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$.
Решение:
Пусть $R$ - искомый радиус, $O$ - центр сферы (рис.1). Рассмотрим сечение конуса и вписанной в него сферы плоскостью, проходящей через высоту $PM$ конуса (рис.2). Получим равнобедренный треугольник $APB$ с основанием $AB=2r$ и высотой $PM=h$ и вписанную в него окружность радиуса $R$ с центром $O$. Точка $O$ лежит на биссектрисе прямоугольного треугольника $AMP$, причём $OM=R$. По свойству биссектрисы треугольника $\frac{OM}{OP}=\frac{AM}{AP}$, или
$\frac{R}{h-R}=\frac{r}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.$
Из полученного уравнения находим, что
$R=\frac{hr}{r+\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.$
