Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1156
2015-12-03 
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x = (4a - 2)^{2}$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^{4}}$ являются целыми.
Решение:
Уравнение $\sin x = (4a — 2)^{2}$ имеет корни тогда и только тогда, когда $(4a — 2)^{2} < 1$, т. е. $ \left | a — \frac{1}{2} \right | \leq \frac{1}{4}$, откуда $\frac{1}{4} \leq a \leq \frac{3}{4}$.
Задача сводится к нахождению всех значений $a$, при которых функция $f(a) = \frac{1-4a}{27a^{4}}$ принимает целые значения на отрезке $\left [ \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right ]$.
Уравнение $f^{\prime}(a) = \frac{1}{27} (-4a^{-5} + 12a^{-4}) = \frac{4}{27}a^{-5} (3a — 1) = 0$ имеет на отрезке $\left [ \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right ]$ единственный корень $a =\frac{1}{3}$, причем $f^{\prime}(a) < 0$ при $a < \frac{1}{3}$ и $f^{\prime}(a) > 0$ при $a > \frac{1}{3}$. Следовательно, функция $f(a)$ убывает при $a \in \left [ \frac{1}{4}, \frac{1}{3} \right )$ и возрастает при $a \in \left ( \frac{1}{3}, \frac{3}{4} \right ]$.
Так как $f \left ( \frac{1}{4} \right ) =0$ и $f \left ( \frac{1}{3} \right ) = - 1$ - целые числа, а $-1 < f \left ( - \frac{3}{4} \right ) = - \frac{2^{9}}{3^{7}} < 0$, то искомое множество значений $a$ состоит из чисел $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$.
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x = (4a - 2)^{2}$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^{4}}$ являются целыми.
Решение:
Уравнение $\sin x = (4a — 2)^{2}$ имеет корни тогда и только тогда, когда $(4a — 2)^{2} < 1$, т. е. $ \left | a — \frac{1}{2} \right | \leq \frac{1}{4}$, откуда $\frac{1}{4} \leq a \leq \frac{3}{4}$.
Задача сводится к нахождению всех значений $a$, при которых функция $f(a) = \frac{1-4a}{27a^{4}}$ принимает целые значения на отрезке $\left [ \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right ]$.
Уравнение $f^{\prime}(a) = \frac{1}{27} (-4a^{-5} + 12a^{-4}) = \frac{4}{27}a^{-5} (3a — 1) = 0$ имеет на отрезке $\left [ \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right ]$ единственный корень $a =\frac{1}{3}$, причем $f^{\prime}(a) < 0$ при $a < \frac{1}{3}$ и $f^{\prime}(a) > 0$ при $a > \frac{1}{3}$. Следовательно, функция $f(a)$ убывает при $a \in \left [ \frac{1}{4}, \frac{1}{3} \right )$ и возрастает при $a \in \left ( \frac{1}{3}, \frac{3}{4} \right ]$.
Так как $f \left ( \frac{1}{4} \right ) =0$ и $f \left ( \frac{1}{3} \right ) = - 1$ - целые числа, а $-1 < f \left ( - \frac{3}{4} \right ) = - \frac{2^{9}}{3^{7}} < 0$, то искомое множество значений $a$ состоит из чисел $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$.
