Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1155
2015-12-03 
Сторона ромба $ABCD$ равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно 8. Найти радиусы этих окружностей.
Решение:
Пусть $K$ — середина $BC$, $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$, $O_{1}$ и $O_{2}$ — центры окружностей, описанных около треугольников $BCD$ и $ABC$ соответственно (рис. ).
Тогда $O_{1}$ и $O_{2}$ — точки пересечения перпендикуляра к $BC$ в точке $K$ с прямыми $CO$ и $Bo$ соответственно.
Пусть $R$ и $r$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$ соответственно, $\angle BAC = \angle CAD = \alpha$, тогда $\angle BO_{2}K = \alpha, O_{1}C = r = \frac{3}{ \cos \alpha}, OC = 6 \cos \alpha, R = \frac{BC}{2 \sin \alpha} = \frac{3}{ \sin \alpha}, OO_{1} = 8 \sin \alpha$.
Так как $OC = OO_{1} + O_{1}C$, то $6 \cos \alpha = 8 \sin \alpha + \frac{3}{ \cos \alpha}$.
Полагая $tg \alpha = t$, получаем $3t^{2} + 8t - 3 = 0$, откуда $t_{1} = \frac{1}{3}, t_{2} = —3$. Так как $0 < \alpha < \frac{ \pi}{2}$, то $tg \alpha = \frac{1}{3}, \cos \alpha = \frac{3}{ \sqrt{10}}, \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{10}}, r = \sqrt{10}, R = 3 \sqrt{10}$.
Сторона ромба $ABCD$ равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно 8. Найти радиусы этих окружностей.
Решение:
Пусть $K$ — середина $BC$, $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$, $O_{1}$ и $O_{2}$ — центры окружностей, описанных около треугольников $BCD$ и $ABC$ соответственно (рис. ).
Тогда $O_{1}$ и $O_{2}$ — точки пересечения перпендикуляра к $BC$ в точке $K$ с прямыми $CO$ и $Bo$ соответственно.
Пусть $R$ и $r$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$ соответственно, $\angle BAC = \angle CAD = \alpha$, тогда $\angle BO_{2}K = \alpha, O_{1}C = r = \frac{3}{ \cos \alpha}, OC = 6 \cos \alpha, R = \frac{BC}{2 \sin \alpha} = \frac{3}{ \sin \alpha}, OO_{1} = 8 \sin \alpha$.
Так как $OC = OO_{1} + O_{1}C$, то $6 \cos \alpha = 8 \sin \alpha + \frac{3}{ \cos \alpha}$.
Полагая $tg \alpha = t$, получаем $3t^{2} + 8t - 3 = 0$, откуда $t_{1} = \frac{1}{3}, t_{2} = —3$. Так как $0 < \alpha < \frac{ \pi}{2}$, то $tg \alpha = \frac{1}{3}, \cos \alpha = \frac{3}{ \sqrt{10}}, \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{10}}, r = \sqrt{10}, R = 3 \sqrt{10}$.
