Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1154
2015-12-03 
Решить неравенство
$\sqrt[4]{ \frac{5 + 3 \cos 4x}{8}} > - \sin x$
Решение:
Найдем решения неравенства на отрезке длиной $2 \pi$. Все значения $x$ из интервала $(0, \pi)$ — решения неравенства, так как $\sin x > 0$ при $0 < x < \pi$, а левая часть неравенства определена и неотрицательна при всех $x$.
Пусть $\sin x < 0$, тогда исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
$ \frac{5+3 \cos 4x}{8} > \sin^{4} x, 5 + 3 \cos 4x > 2(1-2 \cos 2x + \cos^{2} 2x),$
$\cos 2x (1 + \cos 2x) > 0, \cos 2x > 0, \sin^{2} x < \frac{1}{2}, |\sin x| < \frac{1}{ \sqrt{2}}$.
Так как $\sin x \leq 0$, то $- \frac{1}{ \sqrt{2}} < \sin x \leq 0$, откуда $ - \frac{ \pi}{4} < x \leq 0, \pi \leq x < \frac{5 \pi}{4}$.
Итак, на отрезке решениями исходного неравенства являются все числа из интервала
$\left ( - \frac{ \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \right )$
Решить неравенство
$\sqrt[4]{ \frac{5 + 3 \cos 4x}{8}} > - \sin x$
Решение:
Найдем решения неравенства на отрезке длиной $2 \pi$. Все значения $x$ из интервала $(0, \pi)$ — решения неравенства, так как $\sin x > 0$ при $0 < x < \pi$, а левая часть неравенства определена и неотрицательна при всех $x$.
Пусть $\sin x < 0$, тогда исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
$ \frac{5+3 \cos 4x}{8} > \sin^{4} x, 5 + 3 \cos 4x > 2(1-2 \cos 2x + \cos^{2} 2x),$
$\cos 2x (1 + \cos 2x) > 0, \cos 2x > 0, \sin^{2} x < \frac{1}{2}, |\sin x| < \frac{1}{ \sqrt{2}}$.
Так как $\sin x \leq 0$, то $- \frac{1}{ \sqrt{2}} < \sin x \leq 0$, откуда $ - \frac{ \pi}{4} < x \leq 0, \pi \leq x < \frac{5 \pi}{4}$.
Итак, на отрезке решениями исходного неравенства являются все числа из интервала
$\left ( - \frac{ \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \right )$
