Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1150
2015-11-02 
Фигура М на плоскости $(x, y)$ ограничена графиками функций $y = 4e^{-ax}$ и $y = 12 – 5e^{ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y = -12x + 4$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.
Решение:
$4 ln 5 - \frac{16}{3}$.
Решение.
Точка $A(0; 4)$ при любом $a$ является общей точкой прямой $y = - 12x + 4$ и фигуры $M$. Поэтому эта прямая должна быть касательной к графику функции $y_{1} = 4e^{-ax}$ в точке $x = 0$. Так как $у_{1}^{\prime}(0) = -4a$, то $-12 = -4a$, откуда $a = 3$.
Найдем общие точки кривых $y_{1} = 4e^{-3x}$ и $y_{2} = 12 – 5e^{3x}$, решив уравнение $\frac{4}{t} = 12 - 5t$, где $t = e^{3x}$. Это уравнение имеет корни $t_{1} = \frac{2}{5}, t_{2} = 2$. Если $t = \frac{2}{5}$, то $e^{3x} = \frac{2}{5}$, откуда $x_{1} = \frac{1}{3} ln \frac{2}{5}$, а если $t = 2$, то $e^{3x} = 2$, откуда $x_{2} = \frac{1}{3} ln 2$. Искомая площадь
$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (y_{2} – y_{1}) dx = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (12 – 5e^{3x} – 4e^{-3x})dx= \left . \left ( 12x - \frac{5}{3}e^{3x} + \frac{4}{3}e^{-3x} \right ) \right |_{x_{1}}^{x_{2}} = 4ln5 - \frac{16}{3}$.
Фигура М на плоскости $(x, y)$ ограничена графиками функций $y = 4e^{-ax}$ и $y = 12 – 5e^{ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y = -12x + 4$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.
Решение:
$4 ln 5 - \frac{16}{3}$.
Решение.
Точка $A(0; 4)$ при любом $a$ является общей точкой прямой $y = - 12x + 4$ и фигуры $M$. Поэтому эта прямая должна быть касательной к графику функции $y_{1} = 4e^{-ax}$ в точке $x = 0$. Так как $у_{1}^{\prime}(0) = -4a$, то $-12 = -4a$, откуда $a = 3$.
Найдем общие точки кривых $y_{1} = 4e^{-3x}$ и $y_{2} = 12 – 5e^{3x}$, решив уравнение $\frac{4}{t} = 12 - 5t$, где $t = e^{3x}$. Это уравнение имеет корни $t_{1} = \frac{2}{5}, t_{2} = 2$. Если $t = \frac{2}{5}$, то $e^{3x} = \frac{2}{5}$, откуда $x_{1} = \frac{1}{3} ln \frac{2}{5}$, а если $t = 2$, то $e^{3x} = 2$, откуда $x_{2} = \frac{1}{3} ln 2$. Искомая площадь
$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (y_{2} – y_{1}) dx = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (12 – 5e^{3x} – 4e^{-3x})dx= \left . \left ( 12x - \frac{5}{3}e^{3x} + \frac{4}{3}e^{-3x} \right ) \right |_{x_{1}}^{x_{2}} = 4ln5 - \frac{16}{3}$.
