Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1149
2015-11-02 
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $\frac{5}{2}$.
Решение:
$\frac{5 \sqrt{34}}{12}$.
Решение.
Пусть $O_{1}$ - центр окружности радиуса $R$, описанной около треугольника $ACD; O_{2}$ - центр окружности радиуса $r$, вписанной в треугольник $BCD$, $E$ - середина $BC$. Тогда $O_{1}D \perp AC, DE \perp BC, AB = 5, CD = BD = \frac{5}{2}, AC = 4, \sin A = \frac{3}{5}, R = \frac{CD}{2 \sin A} = \frac{25}{12} = O_{1}D$.
Пусть $S$ - площадь треугольника $BCD, p$ - его полупериметр. Тогда $S = \frac{1}{4} AC \cdot BC = 3, p = 4, S = rp$, откуда $r= \frac{3}{4} = O_{2}E, DE = \frac{AC}{2} = 2, DO_{2} = DE – O_{2}E = \frac{5}{4}$. Искомое расстояние
$O_{1}O_{2} = \sqrt{O_{1}D^{2} + DO_{2}^{2}}= \sqrt{ \left ( \frac{25}{12} \right )^{2} + \left ( \frac{5}{4} \right )^{2}} = \frac{\sqrt{850}}{12} = \frac{5 \sqrt{34}}{12}$.
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $\frac{5}{2}$.
Решение:
$\frac{5 \sqrt{34}}{12}$.
Решение.
Пусть $O_{1}$ - центр окружности радиуса $R$, описанной около треугольника $ACD; O_{2}$ - центр окружности радиуса $r$, вписанной в треугольник $BCD$, $E$ - середина $BC$. Тогда $O_{1}D \perp AC, DE \perp BC, AB = 5, CD = BD = \frac{5}{2}, AC = 4, \sin A = \frac{3}{5}, R = \frac{CD}{2 \sin A} = \frac{25}{12} = O_{1}D$.
Пусть $S$ - площадь треугольника $BCD, p$ - его полупериметр. Тогда $S = \frac{1}{4} AC \cdot BC = 3, p = 4, S = rp$, откуда $r= \frac{3}{4} = O_{2}E, DE = \frac{AC}{2} = 2, DO_{2} = DE – O_{2}E = \frac{5}{4}$. Искомое расстояние
$O_{1}O_{2} = \sqrt{O_{1}D^{2} + DO_{2}^{2}}= \sqrt{ \left ( \frac{25}{12} \right )^{2} + \left ( \frac{5}{4} \right )^{2}} = \frac{\sqrt{850}}{12} = \frac{5 \sqrt{34}}{12}$.
