Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1148
2015-11-02 
Решить неравенство
$\sqrt{3x^{2} + 8x - 3 } > \frac{1+2x}{3}$.
Решение:
$x \leq -3, x > \frac{30 \sqrt{2} - 34}{23}$.
Решение.
Так как уравнение $3x^{2} + 8x – 3 = 0$ имеет корни $x_{1} = - 3, x_{2} = \frac{1}{3}$ то область $E$ допустимых значений неравенства - совокупность интервалов $E_{1} = (- \infty, -3), E_{2} = \left ( \frac{1}{3}, + \infty \right )$.
Решить данное неравенство - это значит найти все значения $x \in E$, при которых график функции $y = \sqrt{3x^{2} + 8x -3}$ лежит выше прямой
$y = \frac{1+2x}{3}$ (рис.). Значения $x \in E_{1}$ является решением неравенства, так как $\sqrt{3x^{2} + 8 – 3} \geq 0$ при $x \leq -3$, а $\frac{1+2x}{3} < 0$ при $x \leq -3$ (рис.).
Пусть $x \geq \frac{1}{3}$ тогда $\sqrt{3x^{2} + 8x – 3} \geq 0, \frac{1+2x}{3} > 0$ и исходное неравенство равносильно каждому из неравенств $3x^{2} + 8x – 3 > \left ( \frac{1+2x}{3} \right )^{2}, 23x^{2} + 68х - 28 > 0$. Уравнение $23x^{2} + 68х - 28 = 0$ имеет корни $x_{1}$ и $x_{2}$, где $x_{1} = - \frac{34 + 30 \sqrt{2}}{23} < 0, x_{2} = \frac{30 \sqrt{2} - 34}{23}$ (рис.) $x_{2} > \frac{1}{3}$.
Поэтому решениями исходного неравенства на множестве $E_{2}$ являются все точки интервала $(x_{2}, + \infty)$.
Решить неравенство
$\sqrt{3x^{2} + 8x - 3 } > \frac{1+2x}{3}$.
Решение:
$x \leq -3, x > \frac{30 \sqrt{2} - 34}{23}$.
Решение.
Так как уравнение $3x^{2} + 8x – 3 = 0$ имеет корни $x_{1} = - 3, x_{2} = \frac{1}{3}$ то область $E$ допустимых значений неравенства - совокупность интервалов $E_{1} = (- \infty, -3), E_{2} = \left ( \frac{1}{3}, + \infty \right )$.
Решить данное неравенство - это значит найти все значения $x \in E$, при которых график функции $y = \sqrt{3x^{2} + 8x -3}$ лежит выше прямой
$y = \frac{1+2x}{3}$ (рис.). Значения $x \in E_{1}$ является решением неравенства, так как $\sqrt{3x^{2} + 8 – 3} \geq 0$ при $x \leq -3$, а $\frac{1+2x}{3} < 0$ при $x \leq -3$ (рис.).
Пусть $x \geq \frac{1}{3}$ тогда $\sqrt{3x^{2} + 8x – 3} \geq 0, \frac{1+2x}{3} > 0$ и исходное неравенство равносильно каждому из неравенств $3x^{2} + 8x – 3 > \left ( \frac{1+2x}{3} \right )^{2}, 23x^{2} + 68х - 28 > 0$. Уравнение $23x^{2} + 68х - 28 = 0$ имеет корни $x_{1}$ и $x_{2}$, где $x_{1} = - \frac{34 + 30 \sqrt{2}}{23} < 0, x_{2} = \frac{30 \sqrt{2} - 34}{23}$ (рис.) $x_{2} > \frac{1}{3}$.
Поэтому решениями исходного неравенства на множестве $E_{2}$ являются все точки интервала $(x_{2}, + \infty)$.
