Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 11459
2023-02-21 
Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
Решение:
Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр, $O$ - центр грани $ABC$, $M$ - середина $BC$. Так как $OM\perp BC$ и $DM\perp BC$, то $OMD$ - линейный угол двугранного угла, образованного гранями $ABC$ и $DBC$. Так как $ABC$ и $DBC$ - равные равносторонние треугольники, $AM$ и $DM$ - их высоты, а $O$ - центр треугольника $ABC$, то
$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$
Из прямоугольного треугольника $OMD$ находим, что
$\cos\angle OMD=\frac{OM}{DM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.$
Аналогично для остальных двугранных углов правильного тетраэдра.
Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
Решение:
Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр, $O$ - центр грани $ABC$, $M$ - середина $BC$. Так как $OM\perp BC$ и $DM\perp BC$, то $OMD$ - линейный угол двугранного угла, образованного гранями $ABC$ и $DBC$. Так как $ABC$ и $DBC$ - равные равносторонние треугольники, $AM$ и $DM$ - их высоты, а $O$ - центр треугольника $ABC$, то
$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$
Из прямоугольного треугольника $OMD$ находим, что
$\cos\angle OMD=\frac{OM}{DM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.$
Аналогично для остальных двугранных углов правильного тетраэдра.
