Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1142
2015-07-21 
Можно ли на деревянный куб нанести 100 (или 200) точек так, чтобы точки при всех вращениях куба переходили в себя. Докажите свой ответ.
Решение:
Любую грань куба можно совместить с любой. Пусть $M$ — точка на грани, но не на ребре и не вершина, и пусть $k$ — число образов точки $M$ в этой грани, тогда общее число образов точки $M$ равно $6k$. Аналогично, если точка $H$ лежит на ребре и число образов точки $H$ на этом ребре $l$, то общее число образов точки $H$ равно $12l$. Поэтому общее число точек, лежащих на ребрах и гранях, делится на 6. Если точка лежит в вершине, то образов у нее 8. Поэтому либо 100, либо 100 — 8 должны были бы делиться на 6, что не имеет места.
Можно ли на деревянный куб нанести 100 (или 200) точек так, чтобы точки при всех вращениях куба переходили в себя. Докажите свой ответ.
Решение:
Любую грань куба можно совместить с любой. Пусть $M$ — точка на грани, но не на ребре и не вершина, и пусть $k$ — число образов точки $M$ в этой грани, тогда общее число образов точки $M$ равно $6k$. Аналогично, если точка $H$ лежит на ребре и число образов точки $H$ на этом ребре $l$, то общее число образов точки $H$ равно $12l$. Поэтому общее число точек, лежащих на ребрах и гранях, делится на 6. Если точка лежит в вершине, то образов у нее 8. Поэтому либо 100, либо 100 — 8 должны были бы делиться на 6, что не имеет места.
