Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1139
2015-07-15 
Выбрали сто последовательных натуральных чисел, каждое возвели в восьмую степень. На какие две цифры оканчивается сумма этих степеней?
Решение:
Пусть $k = 100A + 10b + c$, где $a$ неотрицательное, а $0 \leq b \leq 9$ и $0 \leq c \leq 9$. Легко видеть, что две последние цифры не зависят от $a$. Заметим, что, какой бы отрезок натурального ряда из ста чисел мы ни взяли, две последние цифры пробегают все значения от 00 до 99. Поэтому отрезок можно взять от 00 до 99. Вычислим последние две цифры суммы восьмых степеней:
$\sum_{k=0}^{99} k^{8} = \sum_{x=0}^{9} \sum_{y=0}^{9} (10x + y)^{8} = \sum_{x=0}^{9} \sum_{y=0}^{9} ((10x)^{8} + 8 \cdot (10x)^{7} y + \cdots + 8 \cdot 10xy^{7} + y^{8})$.
Заметим, что на две последние цифры влияют только два последних слагаемых. $\sum_{x=0}^{9} \sum_{y=0}^{9} (80xy^{7} + y^{8}) = \sum_{y=0}^{9} (80 \cdot 45y^{7} + 10y^{8})$; первое слагаемое оканчивается на два нуля, поэтому предпоследнюю цифру мы получим от $\sum_{0}^{9} y^{8}$. Посмотрим последние цифры:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – I степени
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 – II степени
0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 – IV степени
0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 – VIII степени,
поэтому $2(1+6+1+6) + 5 = 33$ и сумма оканчивается на 30.
Выбрали сто последовательных натуральных чисел, каждое возвели в восьмую степень. На какие две цифры оканчивается сумма этих степеней?
Решение:
Пусть $k = 100A + 10b + c$, где $a$ неотрицательное, а $0 \leq b \leq 9$ и $0 \leq c \leq 9$. Легко видеть, что две последние цифры не зависят от $a$. Заметим, что, какой бы отрезок натурального ряда из ста чисел мы ни взяли, две последние цифры пробегают все значения от 00 до 99. Поэтому отрезок можно взять от 00 до 99. Вычислим последние две цифры суммы восьмых степеней:
$\sum_{k=0}^{99} k^{8} = \sum_{x=0}^{9} \sum_{y=0}^{9} (10x + y)^{8} = \sum_{x=0}^{9} \sum_{y=0}^{9} ((10x)^{8} + 8 \cdot (10x)^{7} y + \cdots + 8 \cdot 10xy^{7} + y^{8})$.
Заметим, что на две последние цифры влияют только два последних слагаемых. $\sum_{x=0}^{9} \sum_{y=0}^{9} (80xy^{7} + y^{8}) = \sum_{y=0}^{9} (80 \cdot 45y^{7} + 10y^{8})$; первое слагаемое оканчивается на два нуля, поэтому предпоследнюю цифру мы получим от $\sum_{0}^{9} y^{8}$. Посмотрим последние цифры:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – I степени
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 – II степени
0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 – IV степени
0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 – VIII степени,
поэтому $2(1+6+1+6) + 5 = 33$ и сумма оканчивается на 30.
