Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1138
2015-07-15 
Докажите, что в выпуклом шестиугольнике площади $S$ всегда можно провести диагональ, отсекающую от него треугольник площади, не превосходящей $\frac{1}{6} S$.
Решение:
Пусть дан шестиугольник $ABCDEF$, и пусть его диагонали $AD, BE, CF$ пересекаются в точках $P, Q, R$ (рис.). Тогда шестиугольник $ABCDEF$ можно разбить на треугольник $PQR$ и три четырехугольника, заполняющие его внешние углы. Четырехугольники образованы двумя последовательными сторонами шестиугольника и отрезками диагоналей. Если диагонали пересекаются в одной точке, то шестиугольник разбивается только на три четырехугольника. Площадь хотя бы одного из них не превосходит у $\frac{1}{3}S$. Пусть, например, это четырехугольник $APEF$. Проведем в нем диагональ $FP$. Четырехугольник разбивается ею на два треугольника. Площадь одного из них не превосходит $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}S$, пусть это $S_{ \triangle FPE}$. Тогда площадь одного из треугольников $EFA$ и $FED$ не превосходит $S_{ \triangle FPE}$. В самом деле, основание $FE$ у них общее, а вершины лежат на одной прямой, причем $P$ лежит между $A$ и $D$, поэтому высота $\triangle FPE$ на $FE$ не меньше высоты одного из треугольников.
Докажите, что в выпуклом шестиугольнике площади $S$ всегда можно провести диагональ, отсекающую от него треугольник площади, не превосходящей $\frac{1}{6} S$.
Решение:
Пусть дан шестиугольник $ABCDEF$, и пусть его диагонали $AD, BE, CF$ пересекаются в точках $P, Q, R$ (рис.). Тогда шестиугольник $ABCDEF$ можно разбить на треугольник $PQR$ и три четырехугольника, заполняющие его внешние углы. Четырехугольники образованы двумя последовательными сторонами шестиугольника и отрезками диагоналей. Если диагонали пересекаются в одной точке, то шестиугольник разбивается только на три четырехугольника. Площадь хотя бы одного из них не превосходит у $\frac{1}{3}S$. Пусть, например, это четырехугольник $APEF$. Проведем в нем диагональ $FP$. Четырехугольник разбивается ею на два треугольника. Площадь одного из них не превосходит $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}S$, пусть это $S_{ \triangle FPE}$. Тогда площадь одного из треугольников $EFA$ и $FED$ не превосходит $S_{ \triangle FPE}$. В самом деле, основание $FE$ у них общее, а вершины лежат на одной прямой, причем $P$ лежит между $A$ и $D$, поэтому высота $\triangle FPE$ на $FE$ не меньше высоты одного из треугольников.
