Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1137
2015-07-15 
Фигуру площади 1, вырезанную из бумаги, разделили на 10 частей и покрасили эти части 10 разными красками. Затем фигуру перевернули на обратную сторону и тоже разделили на 10 частей (каким-то другим способом). Докажите, что эти части можно покрасить теми же 10 красками (разные части - разными красками) так, что сумма площадей кусков, покрашенных с обеих сторон в один и тот же цвет, будет не меньше 0,1.
Решение:
Всего, если провести разрезы по обоим семействам линии деления, мы будем иметь не более 100 областей, которые будем называть $A_{ij}$, считая, что $A_{ij}$ - это пересечение части $A_{i}$ при первом делении ($i = 1, 2, \cdots, 10$) и части $B_{j}$ при втором делении ($j = 1, 2, \cdots, 10$). Будем считать, что часть $A_{i}$ закрашена $i$ краской. Число способов раскрашивания частей $B_{j}$ равно $10!$. Занумеруем их в каком-нибудь порядке числами $k = 1, 2, \cdots, 10!$ и обозначим в каждом способе через $S_{k}$ сумму площадей областей $A_{ij}$, покрашенных с обеих сторон одной краской (для некоторых пар $j, i$ области $A_{ij}$ могут не существовать, тогда мы считаем их площадь равной нулю).
Лемма.
$\sum_{k=1}^{10!} S_{k} = 9!$ (*)
Примем пока ее без доказательства. Если $10!$ неотрицательных слагаемых дают в сумме $9!$, то из них одно не меньше $ \frac{9!}{10!} = \frac{1}{10}$, иначе вся сумма будет меньше $10! \frac{1}{10} = 9!$, что и требовалось доказать.
Для доказательства леммы подсчитаем, сколько раз площадь $S_{ij}$ области $A_{ij}$ входит в левую часть (*), т. е. сколько $S_{k}$ (при скольких номерах $k$ содержат $S_{ij}$.
Для того чтобы $S_{ij}$ вошла в $S_{k}$, необходимо и достаточно, чтобы при $k$-м способе раскраски часть $B_{j}$ была закрашена одним определенным цветом - тем же, что $A_{i}$. Остальные 9 цветов могут как угодно прийтись на остальные 9 частей; их можно распределить $9!$ способами. Итак, сумма $\sum_{k} S_{k}$, выраженная через $A_{ij}$, содержит каждое из них $9!$ раз, т. е. равна $9! \sum A_{ij} = 9!$ Лемма доказана.
Фигуру площади 1, вырезанную из бумаги, разделили на 10 частей и покрасили эти части 10 разными красками. Затем фигуру перевернули на обратную сторону и тоже разделили на 10 частей (каким-то другим способом). Докажите, что эти части можно покрасить теми же 10 красками (разные части - разными красками) так, что сумма площадей кусков, покрашенных с обеих сторон в один и тот же цвет, будет не меньше 0,1.
Решение:
Всего, если провести разрезы по обоим семействам линии деления, мы будем иметь не более 100 областей, которые будем называть $A_{ij}$, считая, что $A_{ij}$ - это пересечение части $A_{i}$ при первом делении ($i = 1, 2, \cdots, 10$) и части $B_{j}$ при втором делении ($j = 1, 2, \cdots, 10$). Будем считать, что часть $A_{i}$ закрашена $i$ краской. Число способов раскрашивания частей $B_{j}$ равно $10!$. Занумеруем их в каком-нибудь порядке числами $k = 1, 2, \cdots, 10!$ и обозначим в каждом способе через $S_{k}$ сумму площадей областей $A_{ij}$, покрашенных с обеих сторон одной краской (для некоторых пар $j, i$ области $A_{ij}$ могут не существовать, тогда мы считаем их площадь равной нулю).
Лемма.
$\sum_{k=1}^{10!} S_{k} = 9!$ (*)
Примем пока ее без доказательства. Если $10!$ неотрицательных слагаемых дают в сумме $9!$, то из них одно не меньше $ \frac{9!}{10!} = \frac{1}{10}$, иначе вся сумма будет меньше $10! \frac{1}{10} = 9!$, что и требовалось доказать.
Для доказательства леммы подсчитаем, сколько раз площадь $S_{ij}$ области $A_{ij}$ входит в левую часть (*), т. е. сколько $S_{k}$ (при скольких номерах $k$ содержат $S_{ij}$.
Для того чтобы $S_{ij}$ вошла в $S_{k}$, необходимо и достаточно, чтобы при $k$-м способе раскраски часть $B_{j}$ была закрашена одним определенным цветом - тем же, что $A_{i}$. Остальные 9 цветов могут как угодно прийтись на остальные 9 частей; их можно распределить $9!$ способами. Итак, сумма $\sum_{k} S_{k}$, выраженная через $A_{ij}$, содержит каждое из них $9!$ раз, т. е. равна $9! \sum A_{ij} = 9!$ Лемма доказана.
