Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1136
2015-07-15 
$n$ школьников с номерами от 1 до $n$ расположены в порядке $1, 2, \cdots, n$. По команде каждый может либо один раз с кем-нибудь поменяться местами, либо остаться на месте. Можно ли в результате двух команд получить расположение $n, 1, 2, \cdots, n-1$?
Решение:
1) Пусть $n=2k+1$.
По первой команде оставим школьника номер $k+1$ на месте, а (символом $\leftrightarrow$ обозначим, что $a$ и $b$ меняются местами)
$1 \leftrightarrow 2k+1, 2 \leftrightarrow 2k, 3 \leftrightarrow 2k - 1 \cdots, k \leftrightarrow k+2$,
тогда получим расположение: $2k+1, 2k, 2k-1, 2k-2, \cdots, 1$.
По второй команде оставим на месте номер $2k + 1$, а $2k \leftrightarrow 1, 2k-1 \leftrightarrow 2, 2k-2 \leftrightarrow 3, \cdots , k+1 \rightarrow k$, тогда получим требуемое расположение: $2k+1, 1, 2, 3, \cdots, 2k$.
2) Пусть $n=2k$.
По первой команде оставим на месте номер 1 и номер $k+1$, а $2 \leftrightarrow 2k, 3 \leftrightarrow 2k-1, 4 \leftrightarrow 2k-2, \cdots , k \leftrightarrow k+2 $, тогда получим расположение: $1, 2k, 2k-1, \cdots, 2$.
По второй команде
$1 \leftrightarrow 2k, 2k-1 \leftrightarrow 2, 2k-2 \leftrightarrow 3, \cdots, k+1 \leftrightarrow k$,
и получим требуемое расположение: $2k, 1, 2, 3, \cdots, 2k-1$.
$n$ школьников с номерами от 1 до $n$ расположены в порядке $1, 2, \cdots, n$. По команде каждый может либо один раз с кем-нибудь поменяться местами, либо остаться на месте. Можно ли в результате двух команд получить расположение $n, 1, 2, \cdots, n-1$?
Решение:
1) Пусть $n=2k+1$.
По первой команде оставим школьника номер $k+1$ на месте, а (символом $\leftrightarrow$ обозначим, что $a$ и $b$ меняются местами)
$1 \leftrightarrow 2k+1, 2 \leftrightarrow 2k, 3 \leftrightarrow 2k - 1 \cdots, k \leftrightarrow k+2$,
тогда получим расположение: $2k+1, 2k, 2k-1, 2k-2, \cdots, 1$.
По второй команде оставим на месте номер $2k + 1$, а $2k \leftrightarrow 1, 2k-1 \leftrightarrow 2, 2k-2 \leftrightarrow 3, \cdots , k+1 \rightarrow k$, тогда получим требуемое расположение: $2k+1, 1, 2, 3, \cdots, 2k$.
2) Пусть $n=2k$.
По первой команде оставим на месте номер 1 и номер $k+1$, а $2 \leftrightarrow 2k, 3 \leftrightarrow 2k-1, 4 \leftrightarrow 2k-2, \cdots , k \leftrightarrow k+2 $, тогда получим расположение: $1, 2k, 2k-1, \cdots, 2$.
По второй команде
$1 \leftrightarrow 2k, 2k-1 \leftrightarrow 2, 2k-2 \leftrightarrow 3, \cdots, k+1 \leftrightarrow k$,
и получим требуемое расположение: $2k, 1, 2, 3, \cdots, 2k-1$.
