Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1135
2015-07-15 
Дан четырехугольник площади $S$ со сторонами $a, b, c, d$. Докажите, что
$S \leq \frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}$.
Решение:
Если четырехугольник невыпуклый, то, отражая $c$ и $d$ симметрично относительно внешней диагонали, получим выпуклый четырехугольник площади $S^{\prime}$, причем $S^{\prime} > S$. Поэтому можно рассматривать только выпуклые четырехугольники. Разобьем четырехугольник диагональю на два треугольника. Площадь первого из них не превышает половины произведения двух его сторон, т. е. $\frac{ab}{2}$. Площадь второго не превышает $\frac{cd}{2}$. Сложив, получим $2S \leq ab+cd$. Аналогично: $2S \leq bc+ad$.
Сложив эти два неравенства, получим:
$4S \leq (a+c)()b+d$, т. е. $S \leq \frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}$.
Дан четырехугольник площади $S$ со сторонами $a, b, c, d$. Докажите, что
$S \leq \frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}$.
Решение:
Если четырехугольник невыпуклый, то, отражая $c$ и $d$ симметрично относительно внешней диагонали, получим выпуклый четырехугольник площади $S^{\prime}$, причем $S^{\prime} > S$. Поэтому можно рассматривать только выпуклые четырехугольники. Разобьем четырехугольник диагональю на два треугольника. Площадь первого из них не превышает половины произведения двух его сторон, т. е. $\frac{ab}{2}$. Площадь второго не превышает $\frac{cd}{2}$. Сложив, получим $2S \leq ab+cd$. Аналогично: $2S \leq bc+ad$.
Сложив эти два неравенства, получим:
$4S \leq (a+c)()b+d$, т. е. $S \leq \frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}$.
