Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1130
2015-07-15 
Какое максимальное число шаров радиуса $\frac{1}{2}$ можно поместить в прямоугольный параллелепипед размером $10 \times 10 \times 1$?
Решение:
Очевидно, что можно поместить десять параллельных рядов но десять шаров в каждом ряду, т. е. 100 шаров. Но это число можно увеличить, если в первый ряд положить 10 шаров, а во второй 9, так чтобы каждый шар второго ряда касался двух шаров первого ряда, и т. д. Тогда общая высота $H$ уложенных слоев $H = 2r + r(n-1) \sqrt{3}$, где $n$ - число слоев. Поскольку $H \leq 10$, при $r = \frac{1}{2}$ получаем $n \leq 6 \sqrt{3} + 1$, т. е. $n=11$.
Положим теперь в I, III, V, VII, IX, XI слои по 10 шаров, II, IV, VI, VIII, X — по 9 шаров, т. е. мы уложим 105 шаров.
При этом остается запас высоты, равный $9 – 5 \sqrt{3}$. Попытаемся теперь заменить какие-либо слои с 9 шарами на слои с 10 шарами. При такой замене одного слоя высота увеличивается на
$4r – 2r \sqrt{3} = r (4 – 2 \sqrt{3})$.
Для $n=11$ и $r= \frac{1}{2}$ получаем, что число замененных слоев $k$ удовлетворяет неравенству $k(2 - \sqrt{3}) \leq 9 – 5 \sqrt{3}$, т.е. $k \leq (3 - \sqrt{3})$. Откуда $k=1$. Поэтому один слой из 9 шаров можно заменить слоем из 10 шаров.
Таким образом можно уложить 106 шаров.
Замечание. Задача не была включена, так как строгое доказательство максимальности ответа $N = 106$ затруднительно.
Какое максимальное число шаров радиуса $\frac{1}{2}$ можно поместить в прямоугольный параллелепипед размером $10 \times 10 \times 1$?
Решение:
Очевидно, что можно поместить десять параллельных рядов но десять шаров в каждом ряду, т. е. 100 шаров. Но это число можно увеличить, если в первый ряд положить 10 шаров, а во второй 9, так чтобы каждый шар второго ряда касался двух шаров первого ряда, и т. д. Тогда общая высота $H$ уложенных слоев $H = 2r + r(n-1) \sqrt{3}$, где $n$ - число слоев. Поскольку $H \leq 10$, при $r = \frac{1}{2}$ получаем $n \leq 6 \sqrt{3} + 1$, т. е. $n=11$.
Положим теперь в I, III, V, VII, IX, XI слои по 10 шаров, II, IV, VI, VIII, X — по 9 шаров, т. е. мы уложим 105 шаров.
При этом остается запас высоты, равный $9 – 5 \sqrt{3}$. Попытаемся теперь заменить какие-либо слои с 9 шарами на слои с 10 шарами. При такой замене одного слоя высота увеличивается на
$4r – 2r \sqrt{3} = r (4 – 2 \sqrt{3})$.
Для $n=11$ и $r= \frac{1}{2}$ получаем, что число замененных слоев $k$ удовлетворяет неравенству $k(2 - \sqrt{3}) \leq 9 – 5 \sqrt{3}$, т.е. $k \leq (3 - \sqrt{3})$. Откуда $k=1$. Поэтому один слой из 9 шаров можно заменить слоем из 10 шаров.
Таким образом можно уложить 106 шаров.
Замечание. Задача не была включена, так как строгое доказательство максимальности ответа $N = 106$ затруднительно.
