Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1128
2015-03-20 
В плоскости дан правильный $A_{1}A_{2} \cdots A_{n}$ - угольннк $(n \geq 3)$. Сколько имеется тупоугольных треугольников $A_{i}A_{j}A_{k}$?
Решение:
1) Пусть $n$ — четно. Подсчитаем число тупоугольных треугольников, имеющих тупой угол, в вершине $A_{1}$, т. е. число треугольников $A_{1}A_{j}A_{k}$, $j < k$.
Условие $\hat{A_{k}A_{1}A_{j}} > \frac{\pi}{2}$ эквивалентно условию $k-j > \frac{\pi}{2}$. Подсчитаем теперь число пар натуральных чисел $j$, $k$, для которых $2 \leq j < k \leq n$ и $k-j > \frac{\pi}{2}$.
Если $j$ пробегает значения $2, 3, \cdots, \frac{\pi}{2} - 1$, то соответствующее каждому $j,k$, можно выбрать $\frac{n}{2} -2, \frac{n}{2} - 3, \cdots , 1$ способами, т. е число всех пар равно
$\left ( \frac{n}{2} - 2 \right ) + \left ( \frac{n}{2} – 3 \right ) + \cdots + 1 = \frac{1}{2} \left ( \frac{n}{2} - 2 \right ) \left ( \frac{n}{2} -1 \right ) = \frac{1}{8} (n-2)(n-4)$.
Это число тупоугольных треугольников с тупым углом при вершине $A_{1}$, а всего треугольников будет $\frac{1}{8}n(n-2)(n-4)$.
2) Пусть $n$ — нечетно. Подсчитаем в этом случае число тупоугольных треугольников $A_{1}A_{j}A_{k}$ с тупым углом при вершине $A_{1}$. Мы получаем, что $k-j > \frac{n-1}{2}$. Число пар $j,k$, таких, что $2 \leq j < k \leq n$ и $k-j > \frac{1}{2} (n-1)$, равно
$\frac{1}{2}(n-3) + \frac{1}{2}(n-5) + \cdots + 1 = \frac{1}{8}(n-1)(n-3)$.
А всего тупоугольных треугольников будет $\frac{1}{8}n(n-1)(n-3)$.
Итак, число тупоугольных треугольников при $n$ четном равно $\frac{1}{8} n(n-2)(n-4)$ и при $n$ нечетном равно $\frac{1}{8}n(n-1)(n-3)$.
В плоскости дан правильный $A_{1}A_{2} \cdots A_{n}$ - угольннк $(n \geq 3)$. Сколько имеется тупоугольных треугольников $A_{i}A_{j}A_{k}$?
Решение:
1) Пусть $n$ — четно. Подсчитаем число тупоугольных треугольников, имеющих тупой угол, в вершине $A_{1}$, т. е. число треугольников $A_{1}A_{j}A_{k}$, $j < k$.
Условие $\hat{A_{k}A_{1}A_{j}} > \frac{\pi}{2}$ эквивалентно условию $k-j > \frac{\pi}{2}$. Подсчитаем теперь число пар натуральных чисел $j$, $k$, для которых $2 \leq j < k \leq n$ и $k-j > \frac{\pi}{2}$.
Если $j$ пробегает значения $2, 3, \cdots, \frac{\pi}{2} - 1$, то соответствующее каждому $j,k$, можно выбрать $\frac{n}{2} -2, \frac{n}{2} - 3, \cdots , 1$ способами, т. е число всех пар равно
$\left ( \frac{n}{2} - 2 \right ) + \left ( \frac{n}{2} – 3 \right ) + \cdots + 1 = \frac{1}{2} \left ( \frac{n}{2} - 2 \right ) \left ( \frac{n}{2} -1 \right ) = \frac{1}{8} (n-2)(n-4)$.
Это число тупоугольных треугольников с тупым углом при вершине $A_{1}$, а всего треугольников будет $\frac{1}{8}n(n-2)(n-4)$.
2) Пусть $n$ — нечетно. Подсчитаем в этом случае число тупоугольных треугольников $A_{1}A_{j}A_{k}$ с тупым углом при вершине $A_{1}$. Мы получаем, что $k-j > \frac{n-1}{2}$. Число пар $j,k$, таких, что $2 \leq j < k \leq n$ и $k-j > \frac{1}{2} (n-1)$, равно
$\frac{1}{2}(n-3) + \frac{1}{2}(n-5) + \cdots + 1 = \frac{1}{8}(n-1)(n-3)$.
А всего тупоугольных треугольников будет $\frac{1}{8}n(n-1)(n-3)$.
Итак, число тупоугольных треугольников при $n$ четном равно $\frac{1}{8} n(n-2)(n-4)$ и при $n$ нечетном равно $\frac{1}{8}n(n-1)(n-3)$.
