Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1127
2015-03-20 
Найдите действительные решения уравнения
$\sqrt{x^{2} + 2px – p^{2}} - \sqrt{x^{2} – 2px – p^{2}} = 1$,
где $p$ — положительное действительное число.
Решение:
Пусть число $x$ является решением уравнения (1). Тогда выражения $y= x^{2} + 2px – p^{2}$, $z= x^{2} – 2px –p^{2}$ (2) необходимо удовлетворяют условиям $y>0$, $x \geq 0$, $y > z$.
Из уравнения (1) с помощью (2) мы получаем последовательно
$\sqrt{y} - \sqrt{z} = 1, y-z-1=2\sqrt{z}$,
$4px – 1 = 2\sqrt{z}$, (3)
$(4px - 1)^{2} = 4z$, (3*)
$1+4p^{2} = 4x^{2} (1-4p^{2})$. (4*)
Значит, кроме $p > 0$, необходимо $1-4p^{2} > 0$, т. е,
$0 < p < \frac{1}{2}$. (4)
Так как $y > z$, т. е. $4px > 0$, имеет место $x > 0$. Из (4*) следует тем самым
$x = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1+4p^{2}}{1-4p^{2}}}$. (5)
Проверка. Из (5) следует (4*) и тем самым (3*). Значит, имеет место $z \geq 0$. Для того чтобы перейти от (3*) к (3), необходимо и достаточно $4px – 1 \geq 0$, значит,
$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 + 4px^{2}}{1-4p^{2}}} \geq \frac{1}{4p}$. (6)
Из (6) и (4) следует
$\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} - 1} \leq p < \frac{1}{2}$. (7)
Так как $y = z + 4px$ и $4px > 0$, имеет место $y > 0$. Таким образом, из (3) получаем (1). Уравнение (1) имеет при условии (7) единственное действительное решение, а именно (5).
Найдите действительные решения уравнения
$\sqrt{x^{2} + 2px – p^{2}} - \sqrt{x^{2} – 2px – p^{2}} = 1$,
где $p$ — положительное действительное число.
Решение:
Пусть число $x$ является решением уравнения (1). Тогда выражения $y= x^{2} + 2px – p^{2}$, $z= x^{2} – 2px –p^{2}$ (2) необходимо удовлетворяют условиям $y>0$, $x \geq 0$, $y > z$.
Из уравнения (1) с помощью (2) мы получаем последовательно
$\sqrt{y} - \sqrt{z} = 1, y-z-1=2\sqrt{z}$,
$4px – 1 = 2\sqrt{z}$, (3)
$(4px - 1)^{2} = 4z$, (3*)
$1+4p^{2} = 4x^{2} (1-4p^{2})$. (4*)
Значит, кроме $p > 0$, необходимо $1-4p^{2} > 0$, т. е,
$0 < p < \frac{1}{2}$. (4)
Так как $y > z$, т. е. $4px > 0$, имеет место $x > 0$. Из (4*) следует тем самым
$x = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1+4p^{2}}{1-4p^{2}}}$. (5)
Проверка. Из (5) следует (4*) и тем самым (3*). Значит, имеет место $z \geq 0$. Для того чтобы перейти от (3*) к (3), необходимо и достаточно $4px – 1 \geq 0$, значит,
$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 + 4px^{2}}{1-4p^{2}}} \geq \frac{1}{4p}$. (6)
Из (6) и (4) следует
$\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} - 1} \leq p < \frac{1}{2}$. (7)
Так как $y = z + 4px$ и $4px > 0$, имеет место $y > 0$. Таким образом, из (3) получаем (1). Уравнение (1) имеет при условии (7) единственное действительное решение, а именно (5).
